Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas. Vamos precisar lembrar das condições que definem um subespaço e aplicar isso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições importantes:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições uma por uma para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se contém o vetor zero
O vetor zero em é . Vamos ver se ele está em :
Substituindo na equação :
Então, quando , . Portanto, o vetor está em , mas o vetor não está, já que deveria ser 0 para o vetor zero.
Conclusão: A primeira condição já não é satisfeita porque não contém o vetor zero.

Passo 4

Como a primeira condição falhou, não precisamos verificar as outras duas. Lembrando que para ser um subespaço vetorial, todas as três condições precisam ser satisfeitas.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Calcule a dimensão do seguinte subespaço de :
Sejam , e considere a matriz tal que , para todo .
(b) Se os vetores em questão forem ortonormais, o que podemos concluir sobre a matriz ? Justifique sua resposta.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de .
(a) Quais as coordenadas do vetor em relação à base ? E em relação a ? E em relação a ?