Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas. Vamos precisar lembrar das condições que definem um subespaço e aplicar isso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições importantes:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições uma por uma para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se contém o vetor zero
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
Substituindo
na equação
:
Então, quando
,
. Portanto, o vetor
está em
, mas o vetor
não está, já que
deveria ser 0 para o vetor zero.
Conclusão: A primeira condição já não é satisfeita porque
não contém o vetor zero.
Passo 4
Como a primeira condição falhou, não precisamos verificar as outras duas. Lembrando que para
ser um subespaço vetorial, todas as três condições precisam ser satisfeitas.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.