Em cada um dos seguintes exercícios, determine se S é um subespaço vetorial de R^2. Represente geometricamente.
2.4 S=(x, y) in R^2: y=2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas. Vamos precisar lembrar das condições que definem um subespaço e aplicar isso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições importantes:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições uma por uma para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se contém o vetor zero
O vetor zero em y = 2(0) + 1 = 1 é . Vamos ver se ele está em :
Substituindo na equação :
Então, quando , . Portanto, o vetor está em , mas o vetor não está, já que deveria ser 0 para o vetor zero.
Conclusão: A primeira condição já não é satisfeita porque não contém o vetor zero.

Passo 4

Como a primeira condição falhou, não precisamos verificar as outras duas. Lembrando que para ser um subespaço vetorial, todas as três condições precisam ser satisfeitas.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de .

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