Calcule a dimensão do seguinte subespaço de :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a dimensão de um subespaço de . Isso significa que vamos descobrir quantas “direções” independentes tem esse conjunto de vetores que satisfazem as equações dadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e álgebra linear, como resolver um sistema de equações para encontrar as variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações que definem o subespaço:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para descobrir as relações entre as variáveis , , , e .

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Primeiro, vamos eliminar o das segunda e terceira linhas.
Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
Em seguida, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:

Passo 4

Agora, vamos simplificar ainda mais. Vamos subtrair a segunda linha da terceira linha:
Isso nos dá um sistema mais simples:
Vamos resolver de baixo para cima. Da terceira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
E da primeira equação:

Passo 5

Agora, observamos que as variáveis e são livres, ou seja, podemos escolher qualquer valor para elas. As outras variáveis ( , e ) dependem de e . Isso significa que temos duas variáveis livres.

Resposta

A dimensão do subespaço é .

Exercícios relacionados

Sejam , e considere a matriz tal que , para todo .
(b) Se os vetores em questão forem ortonormais, o que podemos concluir sobre a matriz ? Justifique sua resposta.
Mostre que se é uma base de , então também é uma base de .
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de .