Calcule a dimensão do seguinte subespaço de R^5 :
[l x y z u v ] in R^5: x+z=0, x-y-z-u-v=0,2 x-y+z-3 u-2 v=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a dimensão de um subespaço de . Isso significa que vamos descobrir quantas “direções” independentes tem esse conjunto de vetores que satisfazem as equações dadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e álgebra linear, como resolver um sistema de equações para encontrar as variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações que definem o subespaço:
x + z = 0 x - y - z - u - v = 0 2x - y + z - 3u - 2v = 0
Nosso objetivo é resolver esse sistema para descobrir as relações entre as variáveis , , , e .

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & | & 0 2 & -1 & 1 & -3 & -2 & | & 0
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Primeiro, vamos eliminar o 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 0 & -1 & -2 & -1 & -1 & | & 0 2 & -1 & 1 & -3 & -2 & | & 0 das segunda e terceira linhas.
Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 0 & -1 & -2 & -1 & -1 & | & 0 0 & -1 & -1 & -3 & -2 & | & 0
Em seguida, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:

Passo 4

Agora, vamos simplificar ainda mais. Vamos subtrair a segunda linha da terceira linha:
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 0 & -1 & -2 & -1 & -1 & | & 0 0 & 0 & 1 & -2 & -1 & | & 0
Isso nos dá um sistema mais simples:
x + z = 0 - y - 2z - u - v = 0 z - 2u - v = 0
Vamos resolver de baixo para cima. Da terceira equação, temos:
z = 2u + v
Substituindo - y - 2(2u + v) - u - v = 0 - y - 4u - 2v - u - v = 0 - y - 5u - 3v = 0 Rightarrow y = -5u - 3v na segunda equação:
x + z = 0 x = -z = - (2u + v)
E da primeira equação:

Passo 5

Agora, observamos que as variáveis e são livres, ou seja, podemos escolher qualquer valor para elas. As outras variáveis ( , e ) dependem de e . Isso significa que temos duas variáveis livres.

Resposta

A dimensão do subespaço é .

Exercícios relacionados