Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a dimensão de um subespaço de . Isso significa que vamos descobrir quantas “direções” independentes tem esse conjunto de vetores que satisfazem as equações dadas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e álgebra linear, como resolver um sistema de equações para encontrar as variáveis livres.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações que definem o subespaço:
x + z = 0 x - y - z - u - v = 0 2x - y + z - 3u - 2v = 0
Nosso objetivo é resolver esse sistema para descobrir as relações entre as variáveis , , , e .
Vamos resolver de baixo para cima. Da terceira equação, temos:
z = 2u + v
Substituindo - y - 2(2u + v) - u - v = 0 - y - 4u - 2v - u - v = 0 - y - 5u - 3v = 0 Rightarrow y = -5u - 3v na segunda equação:
x + z = 0 x = -z = - (2u + v)
E da primeira equação:
Passo 5
Agora, observamos que as variáveis e são livres, ou seja, podemos escolher qualquer valor para elas. As outras variáveis (, e ) dependem de e . Isso significa que temos duas variáveis livres.