Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para descobrir se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz três condições fundamentais de um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Se substituirmos e na equação , temos:
Então, o vetor está em . Isso satisfaz a primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Seja e dois vetores em . Sabemos que:
A soma desses vetores é:
Vamos checar se :
Então, também satisfaz a equação, estando em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em . Seja em , então:
Multiplicando por :
Vamos verificar se :
Então, também satisfaz a equação, estando em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.
Calcule a dimensão do seguinte subespaço de :
(a) Quais as coordenadas do vetor em relação à base ? E em relação a ? E em relação a ?
Determine o elemento tal que .