Em cada um dos seguintes exercícios, determine se S é um subespaço vetorial de R^3.
3.1 S=(x, y, z) in R^3: z=2 x-5 y

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para descobrir se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz três condições fundamentais de um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o conjunto z = 2(0) - 5(0) = 0 contém o vetor zero. O vetor zero em é . Se substituirmos e na equação , temos:
Então, o vetor está em . Isso satisfaz a primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos verificar se z1 = 2x1 - 5y1 e z2 = 2x2 - 5y2 é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) , a soma deles também deve estar em z1 + z2 = (2x1 - 5y1) + (2x2 - 5y2) = 2(x1 + x2) - 5(y1 + y2) . Seja e dois vetores em . Sabemos que:
A soma desses vetores é:
Vamos checar se :
Então, também satisfaz a equação, estando em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se z = 2x - 5y é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos qualquer vetor em cu = (cx, cy, cz) e multiplicarmos por um escalar cz = c(2x - 5y) = 2(cx) - 5(cy) , o resultado também deve estar em . Seja em , então:
Multiplicando por :
Vamos verificar se :
Então, também satisfaz a equação, estando em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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