Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que pede para descobrir se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz três condições fundamentais de um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o conjunto
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Se substituirmos
e
na equação
, temos:
Então, o vetor
está em
. Isso satisfaz a primeira condição.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Seja
e
dois vetores em
. Sabemos que:
A soma desses vetores é:
Vamos checar se
:
Então,
também satisfaz a equação, estando em
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado também deve estar em
. Seja
em
, então:
Multiplicando por
:
Vamos verificar se
:
Então,
também satisfaz a equação, estando em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.