(a) Quais as coordenadas do vetor em relação à base ? E em relação a ? E em relação a ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor em relação a três bases diferentes: , e . Isso envolve entender o que são bases no contexto de vetores e como mudar as coordenadas de um vetor de uma base padrão para outra. Vamos precisar das definições dessas bases para fazer os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em , uma base é um par de vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar. Essas bases são como “referências” diferentes para descrever qualquer vetor no espaço.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas do vetor em relação a uma base específica, por exemplo, , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores que definem a base . Suponha que a base seja formada pelos vetores e , então temos:
Aqui, e são as coordenadas que queremos encontrar. Para isso, montamos um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores e resolvemos para e .

Passo 4

Repetimos o mesmo processo para as bases e . Ou seja, para cada base, expressamos o vetor como uma combinação linear dos vetores que definem a base e resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar as coordenadas específicas.

Resposta

As coordenadas do vetor nas bases , e são encontradas resolvendo os sistemas de equações correspondentes a cada base. Assim, teremos três conjuntos de coordenadas, cada um representando o vetor em relação a , e respectivamente.

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de .
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.
Determine o elemento tal que .
Seja a base canônica de . A partir de , obtenha uma base ortonormal para , em relação aos seguintes produtos internos:
(b) .