(a) Quais as coordenadas do vetor
em relação à base
? E em relação a
? E em relação a
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor
em relação a três bases diferentes:
,
e
. Isso envolve entender o que são bases no contexto de vetores e como mudar as coordenadas de um vetor de uma base padrão para outra. Vamos precisar das definições dessas bases para fazer os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em
, uma base é um par de vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar. Essas bases são como “referências” diferentes para descrever qualquer vetor no espaço.
Passo 3
Para encontrar as coordenadas do vetor
em relação a uma base específica, por exemplo,
, precisamos expressar
como uma combinação linear dos vetores que definem a base
. Suponha que a base
seja formada pelos vetores
e
, então temos:
Aqui,
e
são as coordenadas que queremos encontrar. Para isso, montamos um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores e resolvemos para
e
.
Passo 4
Repetimos o mesmo processo para as bases
e
. Ou seja, para cada base, expressamos o vetor
como uma combinação linear dos vetores que definem a base e resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar as coordenadas específicas.
Resposta
As coordenadas do vetor
nas bases
,
e
são encontradas resolvendo os sistemas de equações correspondentes a cada base. Assim, teremos três conjuntos de coordenadas, cada um representando o vetor
em relação a
,
e
respectivamente.
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Determine o elemento
tal que
.
Seja
a base canônica de
. A partir de
, obtenha uma base ortonormal para
, em relação aos seguintes produtos internos:
(b) .
(b)