Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados: focos F1(2,13) e F2(2,-13) e comprimento do eixo conjugado igual a 24;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação de uma hipérbole sabendo os focos F1(2,13) e F2(2,-13), e que o comprimento do eixo conjugado é 24. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre hipérboles, como os focos, o centro, os eixos e as fórmulas relacionais entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Como os focos são F1(2,13) e F2(2,-13), a coordenada x é a mesma para ambos, então o centro estará na média das coordenadas y.
Calculando:
ycentro = 13 + (-13)2 = 02 = 0
Portanto, o centro é (2, 0).

Passo 3

Agora, vamos determinar o valor de c, que é a distância do centro a cada foco. Como o centro está em (2,0) e um dos focos em (2,13), a distância c é:
c = 13 - 0 = 13
Então, c = 13.

Passo 4

A hipérbole pode ter dois tipos de orientação: horizontal ou vertical. Observando os focos, ambos têm a mesma coordenada x, mas coordenadas y diferentes, o que indica que a hipérbole é vertical.
Para uma hipérbole vertical, a equação geral é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
onde (h,k) é o centro, a é a distância do centro aos vértices, e b está relacionado ao eixo conjugado.

Passo 5

Sabemos que o comprimento do eixo conjugado é 24. Para a hipérbole vertical, o comprimento do eixo conjugado é 2b. Então:
2b = 24 implies b = 12
Assim, b = 12.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a. Para isso, usamos a relação entre a, b e c em uma hipérbole:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores que já temos:
13^2 = a^2 + 12^2 implies 169 = a^2 + 144 implies a^2 = 169 - 144 = 25 implies a = 5
Portanto, a = 5.

Passo 7

Com todos os valores encontrados, vamos montar a equação da hipérbole. Sabemos que o centro é (2,0), a = 5 e b = 12. Substituindo na fórmula geral:
(y - 0)^25^2 - (x - 2)^212^2 = 1
Simplificando:
y^225 - (x - 2)^2144 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^225 - (x - 2)^2144 = 1

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