Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados: focos
e
e comprimento do eixo conjugado igual a 24;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação de uma hipérbole sabendo os focos
e
, e que o comprimento do eixo conjugado é 24. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre hipérboles, como os focos, o centro, os eixos e as fórmulas relacionais entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Como os focos são
e
, a coordenada x é a mesma para ambos, então o centro estará na média das coordenadas y.
Calculando:
Portanto, o centro é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o valor de
, que é a distância do centro a cada foco. Como o centro está em
e um dos focos em
, a distância
é:
Então,
.
Passo 4
A hipérbole pode ter dois tipos de orientação: horizontal ou vertical. Observando os focos, ambos têm a mesma coordenada x, mas coordenadas y diferentes, o que indica que a hipérbole é vertical.
Para uma hipérbole vertical, a equação geral é:
onde
é o centro,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado ao eixo conjugado.
Passo 5
Sabemos que o comprimento do eixo conjugado é 24. Para a hipérbole vertical, o comprimento do eixo conjugado é
. Então:
Assim,
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, usamos a relação entre
,
e
em uma hipérbole:
Substituindo os valores que já temos:
Portanto,
.
Passo 7
Com todos os valores encontrados, vamos montar a equação da hipérbole. Sabemos que o centro é
,
e
. Substituindo na fórmula geral:
Simplificando:
Resposta
A equação da hipérbole é: