Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados: focos e e comprimento do eixo conjugado igual a 24;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação de uma hipérbole sabendo os focos e , e que o comprimento do eixo conjugado é 24. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre hipérboles, como os focos, o centro, os eixos e as fórmulas relacionais entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Como os focos são e , a coordenada x é a mesma para ambos, então o centro estará na média das coordenadas y.
Calculando:
Portanto, o centro é .

Passo 3

Agora, vamos determinar o valor de , que é a distância do centro a cada foco. Como o centro está em e um dos focos em , a distância é:
Então, .

Passo 4

A hipérbole pode ter dois tipos de orientação: horizontal ou vertical. Observando os focos, ambos têm a mesma coordenada x, mas coordenadas y diferentes, o que indica que a hipérbole é vertical.
Para uma hipérbole vertical, a equação geral é:
onde é o centro, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado ao eixo conjugado.

Passo 5

Sabemos que o comprimento do eixo conjugado é 24. Para a hipérbole vertical, o comprimento do eixo conjugado é . Então:
Assim, .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar . Para isso, usamos a relação entre , e em uma hipérbole:
Substituindo os valores que já temos:
Portanto, .

Passo 7

Com todos os valores encontrados, vamos montar a equação da hipérbole. Sabemos que o centro é , e . Substituindo na fórmula geral:
Simplificando:

Resposta

A equação da hipérbole é:

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