Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados: focos e e comprimento do eixo conjugado igual a 24;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação de uma hipérbole sabendo os focos e , e que o comprimento do eixo conjugado é 24. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre hipérboles, como os focos, o centro, os eixos e as fórmulas relacionais entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Como os focos são e , a coordenada x é a mesma para ambos, então o centro estará na média das coordenadas y.
Calculando:
Portanto, o centro é .
Passo 3
Agora, vamos determinar o valor de , que é a distância do centro a cada foco. Como o centro está em e um dos focos em , a distância é:
Então, .
Passo 4
A hipérbole pode ter dois tipos de orientação: horizontal ou vertical. Observando os focos, ambos têm a mesma coordenada x, mas coordenadas y diferentes, o que indica que a hipérbole é vertical.
Para uma hipérbole vertical, a equação geral é:
onde é o centro, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado ao eixo conjugado.
Passo 5
Sabemos que o comprimento do eixo conjugado é 24. Para a hipérbole vertical, o comprimento do eixo conjugado é . Então:
Assim, .
Passo 6
Agora, precisamos encontrar . Para isso, usamos a relação entre , e em uma hipérbole:
Substituindo os valores que já temos:
Portanto, .
Passo 7
Com todos os valores encontrados, vamos montar a equação da hipérbole. Sabemos que o centro é , e . Substituindo na fórmula geral: