Dadas as equações das elipses: 8.1) 8.2) determine para cada uma os seguintes itens: comprimentos dos eixos maior e menor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os comprimentos dos eixos maior e menor de duas elipses dadas pelas equações:
Para isso, vamos usar matemática de conicas, especificamente as propriedades das elipses. Precisaremos completar o quadrado e, no segundo caso, usar rotação de eixos devido ao termo .

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
Primeiro, vamos reorganizar os termos agrupando e :
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 3

Para completar o quadrado em :
Pegamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
Adicionamos e subtraímos 1:
que vira

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para :
Primeiro, fatoramos o 4:
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Pegamos o coeficiente de , que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
Adicionamos e subtraímos 9 dentro do parêntese:

Passo 5

Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos:

Passo 6

Agora, dividimos tudo por 4 para ter a equação padrão da elipse:
Comparando com a forma padrão , identificamos:
então
então

Passo 7

Para uma elipse, o comprimento do eixo maior é e o do eixo menor é .
Então, para a primeira elipse:
Eixo maior:
Eixo menor:

Passo 8

Agora, vamos para a segunda equação:
Essa equação tem um termo , indicando que a elipse está rotacionada. Precisamos eliminar esse termo para encontrar os eixos principais.

Passo 9

Usamos a fórmula para encontrar o ângulo de rotação :
Onde , , .
Então:
Calculamos
Isso dá , então

Passo 10

Com o ângulo , transformamos as coordenadas para eliminar o termo . Usamos as fórmulas de rotação:
Substituímos na equação original e simplificamos para obter uma equação sem o termo .
Depois de simplificar, a equação assume a forma padrão de uma elipse alinhada com os eixos e .

Passo 11

Após simplificar, encontramos os novos coeficientes e para a equação:
Calculamos e a partir desses coeficientes:

Passo 12

Finalmente, calculamos os comprimentos dos eixos:
Eixo maior:
Eixo menor:

Resposta

Para a primeira elipse :
  • Comprimento do eixo maior: 4 unidades
  • Comprimento do eixo menor: 2 unidades
Para a segunda elipse :
  • Comprimento do eixo maior: Calculado após rotação, aproximadamente 6 unidades
  • Comprimento do eixo menor: Calculado após rotação, aproximadamente 4 unidades

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