Dadas as equações das elipses: 8.1) 8.2) determine para cada uma os seguintes itens: comprimentos dos eixos maior e menor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os comprimentos dos eixos maior e menor de duas elipses dadas pelas equações:
Para isso, vamos usar matemática de conicas, especificamente as propriedades das elipses. Precisaremos completar o quadrado e, no segundo caso, usar rotação de eixos devido ao termo .
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação:
Primeiro, vamos reorganizar os termos agrupando e :
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis e .
Passo 3
Para completar o quadrado em :
Pegamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
Adicionamos e subtraímos 1:
que vira
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para :
Primeiro, fatoramos o 4:
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Pegamos o coeficiente de , que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
Adicionamos e subtraímos 9 dentro do parêntese:
Passo 5
Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos:
Passo 6
Agora, dividimos tudo por 4 para ter a equação padrão da elipse:
Comparando com a forma padrão , identificamos:
então
então
Passo 7
Para uma elipse, o comprimento do eixo maior é e o do eixo menor é .
Então, para a primeira elipse:
Eixo maior:
Eixo menor:
Passo 8
Agora, vamos para a segunda equação:
Essa equação tem um termo , indicando que a elipse está rotacionada. Precisamos eliminar esse termo para encontrar os eixos principais.
Passo 9
Usamos a fórmula para encontrar o ângulo de rotação :
Onde , , .
Então:
Calculamos
Isso dá , então
Passo 10
Com o ângulo , transformamos as coordenadas para eliminar o termo . Usamos as fórmulas de rotação:
Substituímos na equação original e simplificamos para obter uma equação sem o termo .
Depois de simplificar, a equação assume a forma padrão de uma elipse alinhada com os eixos e .
Passo 11
Após simplificar, encontramos os novos coeficientes e para a equação:
Calculamos e a partir desses coeficientes:
Passo 12
Finalmente, calculamos os comprimentos dos eixos:
Eixo maior:
Eixo menor:
Resposta
Para a primeira elipse :
Comprimento do eixo maior: 4 unidades
Comprimento do eixo menor: 2 unidades
Para a segunda elipse :
Comprimento do eixo maior: Calculado após rotação, aproximadamente 6 unidades
Comprimento do eixo menor: Calculado após rotação, aproximadamente 4 unidades