Dadas as equações das elipses: 8.1)
8.2)
determine para cada uma os seguintes itens: comprimentos dos eixos maior e menor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os comprimentos dos eixos maior e menor de duas elipses dadas pelas equações:
Para isso, vamos usar matemática de conicas, especificamente as propriedades das elipses. Precisaremos completar o quadrado e, no segundo caso, usar rotação de eixos devido ao termo
.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação:
Primeiro, vamos reorganizar os termos agrupando
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
.
Passo 3
Para completar o quadrado em
:
Pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
.
Adicionamos e subtraímos 1:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para
:
Primeiro, fatoramos o 4:
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Pegamos o coeficiente de
, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
.
Adicionamos e subtraímos 9 dentro do parêntese:
Passo 5
Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos:
Passo 6
Agora, dividimos tudo por 4 para ter a equação padrão da elipse:
Comparando com a forma padrão
, identificamos:
Passo 7
Para uma elipse, o comprimento do eixo maior é
e o do eixo menor é
.
Então, para a primeira elipse:
Eixo maior:
Eixo menor:
Passo 8
Agora, vamos para a segunda equação:
Essa equação tem um termo
, indicando que a elipse está rotacionada. Precisamos eliminar esse termo para encontrar os eixos principais.
Passo 9
Usamos a fórmula para encontrar o ângulo de rotação
:
Onde
,
,
.
Então:
Calculamos
Isso dá
, então
Passo 10
Com o ângulo
, transformamos as coordenadas para eliminar o termo
. Usamos as fórmulas de rotação:
Substituímos na equação original e simplificamos para obter uma equação sem o termo
.
Depois de simplificar, a equação assume a forma padrão de uma elipse alinhada com os eixos
e
.
Passo 11
Após simplificar, encontramos os novos coeficientes
e
para a equação:
Calculamos
e
a partir desses coeficientes:
Passo 12
Finalmente, calculamos os comprimentos dos eixos:
Eixo maior:
Eixo menor:
Resposta
Para a primeira elipse
:
- Comprimento do eixo maior: 4 unidades
- Comprimento do eixo menor: 2 unidades
Para a segunda elipse
:
- Comprimento do eixo maior: Calculado após rotação, aproximadamente 6 unidades
- Comprimento do eixo menor: Calculado após rotação, aproximadamente 4 unidades