Encontre o determinante de (pode usar operações elementares)
A=(cccc 2 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -2 & 1 3 & -1 & -2 & 1 1 & 0 & -1 & 2 )

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar o determinante de uma matriz 4x4. O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a entender algumas propriedades da matriz, como se ela é invertível. Para resolver isso, vamos usar operações elementares nas linhas para simplificar a matriz até facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que certas operações nas linhas da matriz afetam o determinante de maneiras específicas:
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por .
  • Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não muda o determinante.
Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular (com zeros abaixo da diagonal principal), pois o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 3

Vamos começar com a matriz A = 2 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -2 & 1 3 & -1 & -2 & 1 1 & 0 & -1 & 2 :
Observamos que a primeira coluna já tem um zero na segunda linha, o que é bom. Vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna.

Passo 4

Para zerar o elemento R3 = R3 - 32R1 , podemos substituir a terceira linha pela terceira linha menos R3 = 3 & -1 & -2 & 1 - 32 2 & -2 & 3 & -1 = 0 & 2 & -6.5 & 2.5 vezes a primeira linha:
A = 2 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -2 & 1 0 & 2 & -6.5 & 2.5 1 & 0 & -1 & 2
Calculando isso:
Agora a matriz fica:

Passo 5

Vamos zerar o elemento R4 = R4 - 12R1 usando a primeira linha:
R4 = 1 & 0 & -1 & 2 - 12 2 & -2 & 3 & -1 = 0 & 1 & -2.5 & 2.5
Calculando:
A = 2 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -2 & 1 0 & 2 & -6.5 & 2.5 0 & 1 & -2.5 & 2.5
Agora a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos zerar os elementos abaixo do R3 = R3 - (23)R2 .
Para zerar R3 = 0 & 2 & -6.5 & 2.5 - 23 0 & 3 & -2 & 1 = 0 & 0 & -53 & 11 , fazemos:
R4 = R4 - (13)R2
Calculando:
R4 = 0 & 1 & -2.5 & 2.5 - 13 0 & 3 & -2 & 1 = 0 & 0 & -13 & 21
Para zerar A = 2 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -2 & 1 0 & 0 & -53 & 11 0 & 0 & -13 & 21 , fazemos:
Calculando:
Agora a matriz está assim:

Passo 7

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna para zerar o elemento abaixo do R4 = R4 - (-13-53)R3 = R4 - (1353)R3 .
Fazemos:
1353 = 416 = 14
Simplificando os coeficientes:
R4 = R4 - 14R3
Então:
R4 = 0 & 0 & -13 & 21 - 14 0 & 0 & -53 & 11 = 0 & 0 & 0 & 2
Calculando:
A = 2 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -2 & 1 0 & 0 & -53 & 11 0 & 0 & 0 & 2
Agora a matriz está na forma triangular:

Passo 8

Agora que a matriz está triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 2 times 3 times (-53) times 2
Calculando:
2 times 3 = 6 6 times (-53) = -32 -32 times 2 = -64

Resposta

O determinante da matriz é .

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