Encontre o determinante de (pode usar operações elementares)

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar o determinante de uma matriz 4x4. O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a entender algumas propriedades da matriz, como se ela é invertível. Para resolver isso, vamos usar operações elementares nas linhas para simplificar a matriz até facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que certas operações nas linhas da matriz afetam o determinante de maneiras específicas:
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por .
  • Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não muda o determinante.
Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular (com zeros abaixo da diagonal principal), pois o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 3

Vamos começar com a matriz :
Observamos que a primeira coluna já tem um zero na segunda linha, o que é bom. Vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna.

Passo 4

Para zerar o elemento , podemos substituir a terceira linha pela terceira linha menos vezes a primeira linha:
Calculando isso:
Agora a matriz fica:

Passo 5

Vamos zerar o elemento usando a primeira linha:
Calculando:
Agora a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos zerar os elementos abaixo do .
Para zerar , fazemos:
Calculando:
Para zerar , fazemos:
Calculando:
Agora a matriz está assim:

Passo 7

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna para zerar o elemento abaixo do .
Fazemos:
Simplificando os coeficientes:
Então:
Calculando:
Agora a matriz está na forma triangular:

Passo 8

Agora que a matriz está triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Calculando:

Resposta

O determinante da matriz é .

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