Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
k.
k.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a série de Taylor para funções trigonométricas, especificamente para o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função. Sabemos que o cosseno é uma função par, ou seja,
. Assim, nossa função fica:
Isso facilita porque agora podemos usar a série de Taylor padrão para
.
Passo 3
A série de Taylor para
em torno de 0 é:
Essa série é composta por termos que alternam de sinal e envolvem apenas potências pares de
.
Passo 4
Como nossa função é
, basta multiplicar a série de Taylor de
por 7:
Essa é a série de Taylor da função dada.
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para
converge para todo
real, ou seja, o raio de convergência é infinito. Como multiplicar por 7 não altera o intervalo de convergência, o raio de convergência da nossa série também é infinito.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
d.
d.
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
l.
l.
Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto
.
f.
f.
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
h.
h.