Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto x_0.
f. y'' + x y' + 2 y = 0, x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e queremos encontrar soluções usando séries de potências em torno de . Isso significa que vamos expressar a solução como uma série de potências de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de necessárias para a equação:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 5

Vamos ajustar os índices para que todas as somas comecem em :
Note que no segundo termo, temos . Para igualar os poderes de , fazemos uma substituição no índice:

Passo 6

Agora, combinamos as somas:
Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 7

Igualando os coeficientes a zero, obtemos a relação de recorrência:
Simplificando:

Passo 8

Agora, temos uma fórmula para encontrar em função de . Precisamos definir os primeiros dois coeficientes, e , que geralmente são determinados pelas condições iniciais da equação. Como não temos condições iniciais aqui, consideramos e como constantes arbitrárias.

Passo 9

Usando a relação de recorrência, podemos expressar os coeficientes seguintes:
E assim por diante.

Passo 10

Portanto, a solução geral em série de potências é:
Onde os termos continuam seguindo a relação de recorrência encontrada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial em séries de potências centrada em é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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