Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto
.
f.
f.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e queremos encontrar soluções usando séries de potências em torno de
. Isso significa que vamos expressar a solução
como uma série de potências de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
necessárias para a equação:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Vamos ajustar os índices para que todas as somas comecem em
:
Note que no segundo termo, temos
. Para igualar os poderes de
, fazemos uma substituição no índice:
Passo 6
Agora, combinamos as somas:
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Igualando os coeficientes a zero, obtemos a relação de recorrência:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos uma fórmula para encontrar
em função de
. Precisamos definir os primeiros dois coeficientes,
e
, que geralmente são determinados pelas condições iniciais da equação. Como não temos condições iniciais aqui, consideramos
e
como constantes arbitrárias.
Passo 9
Usando a relação de recorrência, podemos expressar os coeficientes seguintes:
E assim por diante.
Passo 10
Portanto, a solução geral em série de potências é:
Onde os termos continuam seguindo a relação de recorrência encontrada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
em séries de potências centrada em
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
k.
k.
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.
d.
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h.
h.