Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
d.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências. O enunciado nos dá a equação:
E as condições iniciais são
e
. Vamos precisar conhecer séries de potências, derivadas e como aplicar condições iniciais para encontrar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Isso significa que
é a soma de termos
, onde
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Precisamos encontrar as derivadas de
:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Vamos distribuir o
e simplificar cada termo.
Passo 5
Distribuindo
:
Agora, precisamos alinhar os índices para poder combinar os termos.
Passo 6
Ajustando os índices:
- No primeiro termo, façamos
:
- No segundo termo, façamos
:
- No terceiro termo, deixamos:
- No quarto termo, deixamos:
Passo 7
Reescrevendo tudo com o índice
:
Agora, podemos combinar os termos semelhantes.
Passo 8
Para combinar, observamos que o termo para
só aparece no primeiro e no último somatório:
Para
:
Para
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Simplificando mais:
Passo 10
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
:
Passo 11
Com
e
, podemos calcular
usando a equação do passo 8 para
:
Passo 12
Continuamos calculando os próximos coeficientes:
Para
:
Para
:
E assim por diante, se quisermos mais termos.
Resposta
A solução da equação diferencial em séries de potências é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
l.
l.
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
k.
k.
Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto
.
f.
f.