Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
l.
l.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função cosseno e entender como manipular séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor do cosseno em torno de 0. A série de Taylor para
é:
Passo 3
Agora, na nossa função
, o que temos dentro do cosseno é
. Então, vamos substituir
por
na série que acabamos de escrever:
Passo 4
Agora, nossa função
é
multiplicado por
. Vamos multiplicar a série que encontramos por
:
Passo 5
Então, a série de Taylor da função
em torno de 0 é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de
tem raio de convergência infinito, ou seja, converge para todo
. Como fizemos substituições e multiplicações que não limitam a convergência, o raio de convergência da nossa série de
também é infinito.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.
Exercícios relacionados
Em cada um dos seguintes itens, procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto
.
p.
p.
Em cada um dos seguites itens, determine a solução do problema de valor inicial dado como uma série de potencias de
.
d.
d.
Em cada um dos seguintes itens, determine a série de Taylor da função
dada em torno do ponto
. Determine tambem o ráio de convergência da série.
k.
k.