Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
g.
,
.
g.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial não homogênea:
Nos foi dado que duas soluções da equação homogênea associada são
e
. Vamos precisar verificar se essas funções realmente satisfazem a equação homogênea e, em seguida, encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Finalmente, combinaremos essas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
satisfaz a equação homogênea associada. A equação homogênea é:
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto,
satisfaz a equação homogênea.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
também satisfaz a equação homogênea. Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto,
também satisfaz a equação homogênea.
Passo 4
Agora que confirmamos que
e
são soluções da equação homogênea, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Para encontrar
, podemos usar o método da equação particular. Observando o lado direito
, vamos supor uma solução da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação não homogênea:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. ;
h.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
j. ,
,
j.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
m. ,
;
m.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
a.
a.