Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
g. x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 24/x^2, x != 0, y1(x) = x, y2(x) = x^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial não homogênea:
Nos foi dado que duas soluções da equação homogênea associada são e . Vamos precisar verificar se essas funções realmente satisfazem a equação homogênea e, em seguida, encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Finalmente, combinaremos essas soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se satisfaz a equação homogênea associada. A equação homogênea é:
Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação homogênea:
Portanto, satisfaz a equação homogênea.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também satisfaz a equação homogênea. Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação homogênea:
Portanto, também satisfaz a equação homogênea.

Passo 4

Agora que confirmamos que e são soluções da equação homogênea, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Para encontrar , podemos usar o método da equação particular. Observando o lado direito , vamos supor uma solução da forma:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação não homogênea:
Para que isso seja verdadeiro para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. d²y/dt² + 4y = 4 sec²(t);
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
j. y'' - 3y' - 4y = 2 sen(t), y(0) = 3/17, y'(0) = 12 / 17
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
m. y'' + 4y = -12 sen(2t), y(0) = 1, y'(0) = 3;
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
a. y'' + 4y' + 4y = t^(-2) e^(-2t), t > 0, y(0) = e^(-2), y'(0) = e^(-2)