Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
h.
;
h.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem não homogênea:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem que não é homogênea por causa do termo
no lado direito. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, supomos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação:
Como
, temos:
As raízes são complexas:
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação das constantes ou tentar uma forma específica para
. Observando o lado direito
, sabemos que a derivada de
é
, então uma boa hipótese é tentar:
onde
é uma constante a ser determinada.
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na equação não homogênea:
Fatorando
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, precisamos ajustar
. No entanto, percebemos que a função
já está presente na solução homogênea, o que significa que precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular independente. Então, tentamos:
Calculando as derivadas novamente:
Substituindo na equação não homogênea:
Igualando os termos:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
j. ,
,
j.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
r.
r.
Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
g. ,
.
g.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
m. ,
;
m.