Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
j.
,
,
j.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica, que é formada substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma função seno, tentamos uma solução na forma:
Derivando
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Isso resulta em:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
=>
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro, para
:
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então,
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
r.
r.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
h. ,
,
h.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. ;
h.
Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
g. ,
.
g.