Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
j. y'' - 3y' - 4y = 2 sen(t), y(0) = 3/17, y'(0) = 12 / 17

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial com as condições iniciais e . Estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica, que é formada substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma função seno, tentamos uma solução na forma:
Derivando :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Isso resulta em:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: =>
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar e .
Primeiro, para :
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
r. y'' + 2y' + 5y = 16e^t + sen(2t)
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
h. y'' - 3y' - 4y = 2e^(-t), y(0) = 1, y'(0) = 3/5
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. d²y/dt² + 4y = 4 sec²(t);
Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
g. x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 24/x^2, x != 0, y1(x) = x, y2(x) = x^2.