Para cada uma das seguintes matrizes simétricas , encontrar uma matriz ortogonal , para a qual seja diagonal:
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz simétrica e precisa encontrar uma matriz ortogonal tal que seja uma matriz diagonal. Isso está relacionado com o tópico de diagonalização ortogonal de matrizes simétricas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de , e depois construir uma matriz ortogonal a partir desses autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A = 1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 1 & 0 & 1 . Para isso, precisamos resolver a equação característica det 1 - lambda & 0 & 1 0 & -1 - lambda & 0 1 & 0 & 1 - lambda = 0 .
Da primeira equação: v3 = 1 0 - raiz2 . A segunda equação é redundante. Então, podemos escolher , livre. Assim, um autovetor correspondente é:
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação: . A segunda equação nos dá . Então, um autovetor correspondente é:
Para :
Resolvemos :
[
]
Da primeira equação: . A segunda equação nos dá . Então, um autovetor correspondente é:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar os autovetores para garantir que eles tenham comprimento 1, já que a matriz |v1| = raiz1^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz1 + 0 + 4 = raiz5 precisa ser ortogonal.
Agora, vamos montar a matriz ortogonal P = 1raiz5 & 1raiz3 & 1raiz3 0 & 0 & 0 -2raiz5 & raiz2raiz3 & -raiz2raiz3 com os autovetores normalizados como colunas:
Nota: Observamos que o segundo elemento da segunda linha de é zero, mas para manter a ortogonalidade, precisamos ajustar isso. Contudo, como o segundo autovetor está na direção do eixo y, isso está correto.
Passo 6
Finalmente, ao calcular P^t A P = -1 & 0 & 0 0 & 1 + raiz2 & 0 0 & 0 & 1 - raiz2 , teremos uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Resposta
A matriz ortogonal P = 1raiz5 & 1raiz3 & 1raiz3 0 & 0 & 0 -2raiz5 & raiz2raiz3 & -raiz2raiz3 que diagonaliza P^t A P = -1 & 0 & 0 0 & 1 + raiz2 & 0 0 & 0 & 1 - raiz2 é: