Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
(g) O conjunto das funções contínuas em
tais que
(g) O conjunto das funções contínuas em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um conjunto específico é um espaço vetorial real. O conjunto em questão é o das funções contínuas no intervalo
que satisfazem
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, verificar se a adição e a multiplicação por escalar que estamos usando (as usuais) mantêm o conjunto dentro das regras desse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Em termos simples, um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, funções) que podemos somar e multiplicar por números reais, obedecendo a certas propriedades, como a existência de um elemento neutro (zero) e a distributividade.
Passo 3
Agora, vamos verificar se nosso conjunto está fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas funções
e
que estão no conjunto, a função
também deve estar no conjunto. Ou seja, se
e
, então
. De fato, a integral da soma é a soma das integrais, então
. Portanto, o conjunto está fechado sob adição.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se o conjunto está fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função
no conjunto e um número real
, a função
também deve estar no conjunto. Ou seja, se
, então
.
Passo 5
Vamos analisar diferentes casos para
:
- Se
: Multiplicar por um número positivo mantém a desigualdade, pois . - Se
: A integral de será 0, que satisfaz a condição. - Se
: Multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade. Se , então , o que não satisfaz a condição original .
Passo 6
Como vimos, quando multiplicamos uma função por um escalar negativo, podemos acabar saindo do conjunto, já que a integral pode ficar negativa. Isso significa que o conjunto não está fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Então, o conjunto das funções contínuas em
com
não é um espaço vetorial real, porque não é fechado sob multiplicação por escalar.