Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
(g) O conjunto das funções contínuas em [0,1] tais que integral0^1 f(x) d x >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se um conjunto específico é um espaço vetorial real. O conjunto em questão é o das funções contínuas no intervalo que satisfazem . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, verificar se a adição e a multiplicação por escalar que estamos usando (as usuais) mantêm o conjunto dentro das regras desse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Em termos simples, um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, funções) que podemos somar e multiplicar por números reais, obedecendo a certas propriedades, como a existência de um elemento neutro (zero) e a distributividade.

Passo 3

Agora, vamos verificar se nosso conjunto está fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas funções e que estão no conjunto, a função também deve estar no conjunto. Ou seja, se e , então . De fato, a integral da soma é a soma das integrais, então . Portanto, o conjunto está fechado sob adição.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se o conjunto está fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função no conjunto e um número real , a função também deve estar no conjunto. Ou seja, se , então .

Passo 5

Vamos analisar diferentes casos para :
  • Se : Multiplicar por um número positivo mantém a desigualdade, pois .
  • Se : A integral de será 0, que satisfaz a condição.
  • Se : Multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade. Se , então , o que não satisfaz a condição original .

Passo 6

Como vimos, quando multiplicamos uma função por um escalar negativo, podemos acabar saindo do conjunto, já que a integral pode ficar negativa. Isso significa que o conjunto não está fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Então, o conjunto das funções contínuas em com não é um espaço vetorial real, porque não é fechado sob multiplicação por escalar.

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