Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o ponto P pertence à reta r :
c) P(2, 12, 3) e r: x-1=2(y-2)=z3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o ponto P(2, ½, 3) está na reta r que é definida pelas equações x - 1 = 2(y - 2) = z/3. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos verificar se as coordenadas do ponto P satisfazem as equações da reta r.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta r: x - 1 = 2(y - 2) = z/3. Essa forma é conhecida como equações simétricas da reta. Para facilitar a comparação com o ponto P, vamos expressar cada coordenada em termos de um parâmetro, geralmente chamado de t.
Então, podemos escrever:
  • x = 1 + t
  • 2(y - 2) = t => y = 2 + t/2
  • z = 3t

Passo 3

Agora, temos as coordenadas gerais de qualquer ponto na reta r em função do parâmetro t:
  • x = 1 + t
  • y = 2 + t/2
  • z = 3t
O próximo passo é verificar se existe algum valor de t que faz com que as coordenadas do ponto P sejam iguais às coordenadas na reta r.

Passo 4

Vamos igualar as coordenadas de P às da reta r:
  1. x = 2 = 1 + t => t = 2 - 1 = 1
  2. y = ½ = 2 + t/2 => ½ = 2 + (1)/2 = 2 + 0.5 = 2.5
  3. z = 3 = 3t => t = 3/3 = 1

Passo 5

Observe que para a coordenada x e z, encontramos t = 1, mas para y, teríamos ½ = 2.5, o que não é verdade. Isso significa que não há um único valor de t que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.

Resposta

O ponto P(2, ½, 3) não pertence à reta r: x - 1 = 2(y - 2) = z/3.

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