Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o ponto P pertence à reta r :
c)
e
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o ponto P(2, ½, 3) está na reta r que é definida pelas equações x - 1 = 2(y - 2) = z/3. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos verificar se as coordenadas do ponto P satisfazem as equações da reta r.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta r: x - 1 = 2(y - 2) = z/3. Essa forma é conhecida como equações simétricas da reta. Para facilitar a comparação com o ponto P, vamos expressar cada coordenada em termos de um parâmetro, geralmente chamado de t.
Então, podemos escrever:
- x = 1 + t
- 2(y - 2) = t => y = 2 + t/2
- z = 3t
Passo 3
Agora, temos as coordenadas gerais de qualquer ponto na reta r em função do parâmetro t:
- x = 1 + t
- y = 2 + t/2
- z = 3t
O próximo passo é verificar se existe algum valor de t que faz com que as coordenadas do ponto P sejam iguais às coordenadas na reta r.
Passo 4
Vamos igualar as coordenadas de P às da reta r:
- x = 2 = 1 + t => t = 2 - 1 = 1
- y = ½ = 2 + t/2 => ½ = 2 + (1)/2 = 2 + 0.5 = 2.5
- z = 3 = 3t => t = 3/3 = 1
Passo 5
Observe que para a coordenada x e z, encontramos t = 1, mas para y, teríamos ½ = 2.5, o que não é verdade. Isso significa que não há um único valor de t que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.
Resposta
O ponto P(2, ½, 3) não pertence à reta r: x - 1 = 2(y - 2) = z/3.