Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas:
O objetivo aqui é esboçar a curva que essas equações descrevem e encontrar a equação cartesiana correspondente. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e álgebra para eliminar o parâmetro
e relacionar
e
diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções trigonométricas envolvidas:
- Secante:
- Tangente:
Além disso, conhecemos a identidade trigonométrica fundamental:
Essa identidade será útil para conectar
e
sem o parâmetro
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
nas equações da identidade trigonométrica:
Sabemos que
, então
.
E
, então
.
Substituindo na identidade:
Passo 4
Pronto! Conseguimos eliminar o parâmetro
e relacionar
e
diretamente. A equação resultante é:
Essa é a equação cartesiana que representa a curva definida pelas equações paramétricas dadas.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
.