Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x = sec(t), y = tg(t), t in (-pi/2, pi/2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas:
O objetivo aqui é esboçar a curva que essas equações descrevem e encontrar a equação cartesiana correspondente. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e álgebra para eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções trigonométricas envolvidas:
  • Secante:
  • Tangente:
Além disso, conhecemos a identidade trigonométrica fundamental:
Essa identidade será útil para conectar e sem o parâmetro .

Passo 3

Agora, vamos substituir e nas equações da identidade trigonométrica:
Sabemos que , então .
E , então .
Substituindo na identidade:

Passo 4

Pronto! Conseguimos eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente. A equação resultante é:
Essa é a equação cartesiana que representa a curva definida pelas equações paramétricas dadas.

Resposta

A equação cartesiana da curva é .

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