Expanda a função dada em uma série de taylor centrada no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a função em uma série de Taylor centrada no ponto . Isso significa que vamos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para isso, vamos usar a teoria das séries de Taylor e algumas manipulações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série. Queremos expressar de modo que fique parecido com a forma padrão de uma série geométrica. Começamos isolando :

Passo 3

Agora, observe que podemos escrever a função como:
onde . Para usar a série geométrica, precisamos que . Assim, a série de Taylor fica:
Substituindo de volta:

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:

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Calcule o valor de cada expressão abaixo.
Expanda a função dada em uma série de Maclaurin e calcule o raio de convergência:
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
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Expanda a função dada em uma série de Maclaurin e calcule o raio de convergência: