Para cada uma das séries de termos positivos abaixo, verifique se a série converge, indicando o teste de convergência/divergência usado e justificando em detalhe.
Passo 1
Vamos resolver cada uma das séries apresentadas para verificar se elas convergem ou divergem. Vamos usar testes de convergência apropriados para cada caso, explicando cada passo de forma simples e detalhada.
Série (i)
Passo 2
Primeiro, observamos a expressão geral da série:
. Para estudar a convergência, vamos analisar o comportamento do termo geral quando
tende ao infinito.
Passo 3
Calculamos o limite do termo geral quando
:
Passo 4
Como o limite do termo geral é diferente de zero (
), pelo Teste da Divergência, a série
diverge.
Série (ii)
Passo 5
Analisamos a expressão
. Sabemos que
está sempre entre 0 e 1, ou seja,
.
Passo 6
Comparemos esta série com a série
, que é uma série p com
. Sabemos que séries p com
convergem.
Passo 7
Utilizando o Teste da Comparação, já que
e a série
converge, concluímos que a série
converge por comparação.
Série (iii)
Passo 8
Vamos analisar a série
. Primeiro, simplificamos a expressão dividindo numerador e denominador por
:
Passo 9
Observamos que, para
grande,
tende a zero, então a expressão se aproxima de
.
Passo 10
Comparamos a série com a série harmônica
, que diverge. Usando o Teste da Comparação, já que
para
suficientemente grande, e a série
diverge, concluímos que a série
diverge por comparação.
Resposta
- Série (i): Diverge pelo Teste da Divergência.
- Série (ii): Converge pelo Teste da Comparação.
- Série (iii): Diverge pelo Teste da Comparação.
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; (ii)
.
Para a função
, use a expansão para
obtida em (a) para calcular
e
. Aqui,
denota a derivada de
-ésima ordem de
. Justifique.