Para cada uma das séries de termos positivos abaixo, verifique se a série converge, indicando o teste de convergência/divergência usado e justificando em detalhe.
(i) sumn=1^infty n^2n^2+3000 ; (ii) sumn=1^infty cos ^2 nn^2+3 ; (iii) sumn=1^infty nn^2+15

Passo 1

Vamos resolver cada uma das séries apresentadas para verificar se elas convergem ou divergem. Vamos usar testes de convergência apropriados para cada caso, explicando cada passo de forma simples e detalhada.

Série (i)

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão geral da série: . Para estudar a convergência, vamos analisar o comportamento do termo geral quando tende ao infinito.

Passo 3

Calculamos o limite do termo geral quando limn to infty n^2n^2+3000 = limn to infty 11+3000n^2 = 11+0 = 1 :

Passo 4

Como o limite do termo geral é diferente de zero ( ), pelo Teste da Divergência, a série diverge.

Série (ii)

Passo 5

Analisamos a expressão . Sabemos que está sempre entre 0 e 1, ou seja, .

Passo 6

Comparemos esta série com a série , que é uma série p com . Sabemos que séries p com convergem.

Passo 7

Utilizando o Teste da Comparação, já que e a série converge, concluímos que a série converge por comparação.

Série (iii)

Passo 8

Vamos analisar a série nn^2+15 = 1n + 15n . Primeiro, simplificamos a expressão dividindo numerador e denominador por :

Passo 9

Observamos que, para grande, tende a zero, então a expressão se aproxima de .

Passo 10

Comparamos a série com a série harmônica , que diverge. Usando o Teste da Comparação, já que para suficientemente grande, e a série diverge, concluímos que a série diverge por comparação.

Resposta

  • Série (i): Diverge pelo Teste da Divergência.
  • Série (ii): Converge pelo Teste da Comparação.
  • Série (iii): Diverge pelo Teste da Comparação.

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