Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções: z = 4 + x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o domínio e o conjunto imagem da função . Isso envolve entender quais valores e podem assumir (domínio) e quais valores pode resultar dessa função (imagem). Para resolver isso, vamos precisar saber um pouquinho de funções matemáticas e análise de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é basicamente todos os valores possíveis que as variáveis independentes podem assumir. No caso da nossa função , as variáveis são e .

Passo 3

Observando a função, vemos que ela envolve e . Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, ou seja, e . Além disso, não há restrições adicionais, como divisão por zero ou radicais com índice par.

Passo 4

Como não há restrições nas variáveis e , elas podem assumir qualquer valor real. Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais para e .

Passo 5

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de . A função é .

Passo 6

Sabemos que e são sempre maiores ou iguais a zero. Então, a soma também será maior ou igual a zero. Assim, será sempre maior ou igual a 4.

Passo 7

Portanto, o menor valor que pode assumir é 4, quando e . A partir daí, pode aumentar indefinidamente conforme e aumentam.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais e . Ou seja, .
  • Conjunto imagem: Todos os números reais maiores ou iguais a 4. Formalmente, .

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