Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o domínio e o conjunto imagem da função
. Isso envolve entender quais valores
e
podem assumir (domínio) e quais valores
pode resultar dessa função (imagem). Para resolver isso, vamos precisar saber um pouquinho de funções matemáticas e análise de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é basicamente todos os valores possíveis que as variáveis independentes podem assumir. No caso da nossa função
, as variáveis são
e
.
Passo 3
Observando a função, vemos que ela envolve
e
. Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, ou seja,
e
. Além disso, não há restrições adicionais, como divisão por zero ou radicais com índice par.
Passo 4
Como não há restrições nas variáveis
e
, elas podem assumir qualquer valor real. Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais para
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de
. A função é
.
Passo 6
Sabemos que
e
são sempre maiores ou iguais a zero. Então, a soma
também será maior ou igual a zero. Assim,
será sempre maior ou igual a 4.
Passo 7
Portanto, o menor valor que
pode assumir é 4, quando
e
. A partir daí,
pode aumentar indefinidamente conforme
e
aumentam.
Resposta
-
Domínio: Todos os números reais
e . Ou seja, . -
Conjunto imagem: Todos os números reais maiores ou iguais a 4. Formalmente,
.
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e
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