Determine o raio de convergência R das séries de potências
(i) sumn=0^infty (n+1)^5n! x^n ; ( ii) sumn=0^infty 5^nn(x-2)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio de convergência de duas séries de potências. O raio de convergência nos diz até onde a série converge, ou seja, para quais valores de a série dá um resultado finito. Para isso, vamos usar alguns métodos de análise de séries como o Teste da Razão e o Teste da Raiz. Vamos lá!

Passo 2

Série (i): limn to infty | an+1an | = limn to infty | (n+2)^5(n+1)! cdot n!(n+1)^5 cdot x | = limn to infty | (n+2)^5(n+1)^5 cdot 1n+1 cdot x |

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é super útil para encontrar o raio de convergência. Esse teste diz que, se a razão entre o termo de ordem limn to infty | (1 + 1n+1)^5 cdot 1n+1 cdot x | = limn to infty | (1 + 5n+1 + dots ) cdot 1n+1 cdot x | = 0 e o termo de ordem tende a quando vai ao infinito, então a série converge se .
Vamos calcular essa razão:
Simplificando:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para qualquer valor de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Passo 3

Série (ii): limn to infty | an+1an | = limn to infty | 5^n+1n+1 cdot n5^n cdot (x-2) | = limn to infty | 5 cdot nn+1 cdot (x-2) |

Aqui, vamos usar novamente o Teste da Razão. Primeiro, observamos que a série está centrada em limn to infty | 5nn+1 cdot (x-2) | = limn to infty | 5 cdot (1 - 1n+1) cdot (x-2) | = 5 |x-2| , então vamos considerar 5 |x - 2| < 1 implies |x - 2| < 15 como nossa variável.
Aplicando o Teste da Razão:
Simplificando:
Para que a série convirja, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

  • Para a série (i), o raio de convergência é .
  • Para a série (ii), o raio de convergência é .

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