Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o seu conjunto solução usando o método da matriz inversa.
(a) 3 x+5 y & =4 x+2 y & =-2

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos um sistema de equações lineares:
3x + 5y = 4 x + 2y = -2
O conteúdo envolvido é álgebra linear, especificamente o método da matriz inversa para resolver sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar montar as matrizes dos coeficientes, calcular a matriz inversa e então multiplicar pela matriz dos termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Nesse caso, ela é:
A = 3 & 5 1 & 2

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar a matriz dos termos constantes:
B = 4 -2

Passo 4

Para resolver usando a matriz inversa, precisamos calcular a inversa da matriz , ou seja, .

Passo 5

Primeiro, calculamos o determinante de a & b c & d . O determinante para uma matriz 2x2 det(A) = (3)(2) - (5)(1) = 6 - 5 = 1 é .
Então,

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero ( A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a = 2 & -5 -1 & 3 ), a matriz inversa existe e é dada por:

Passo 7

Agora, multiplicamos a matriz inversa X = A^-1 B = 2 & -5 -1 & 3 4 -2 pela matriz dos termos constantes :

Passo 8

Vamos realizar a multiplicação:
Para x = 2 times 4 + (-5) times (-2) = 8 + 10 = 18 :
y = (-1) times 4 + 3 times (-2) = -4 - 6 = -10
Para :

Resposta

A solução do sistema é e .

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