Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de para que o sistema seja SPD.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um sistema linear com três equações e três incógnitas. A gente precisa achar o valor de que faz esse sistema ser SPD, ou seja, Simétrico e Definido Positivo. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz SPD e como verificar se uma matriz é simétrica e definida positiva.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema em forma de matriz. O sistema dado é:
A matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Para a matriz ser simétrica, ela precisa ser igual à sua transposta. Ou seja, . Vamos verificar isso:
Comparando e , temos que:
Elemento (1,2): 2 deve ser igual a elemento (2,1): ⇒ .
Elemento (1,3): deve ser igual a elemento (3,1): 1 ⇒ .
Elemento (2,3): 1 deve ser igual a elemento (3,2): 1 ⇒ Já está ok.
Aqui temos um problema: não pode ser simultaneamente 1 e 2. Isso significa que a única possibilidade de a matriz ser simétrica é se o sistema for tal que e ao mesmo tempo, o que é impossível.
Passo 4
Como não existe um valor de que torne a matriz simétrica, o sistema nunca será SPD. Não precisamos verificar a parte da definida positiva porque a simetria já não é atendida.