Para cada um dos sistemas lineares abaixo, determine o valor de k para que o sistema seja SPD.
(a) x+2 y+k z & =-1 k x-y+z & =2 x+y+z & =0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um sistema linear com três equações e três incógnitas. A gente precisa achar o valor de que faz esse sistema ser SPD, ou seja, Simétrico e Definido Positivo. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz SPD e como verificar se uma matriz é simétrica e definida positiva.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em forma de matriz. O sistema dado é:
x + 2y + kz = -1 kx - y + z = 2 x + y + z = 0
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 2 & k k & -1 & 1 1 & 1 & 1

Passo 3

Para a matriz ser simétrica, ela precisa ser igual à sua transposta. Ou seja, A^T = 1 & k & 1 2 & -1 & 1 k & 1 & 1 . Vamos verificar isso:
Comparando e , temos que:
  • Elemento (1,2): 2 deve ser igual a elemento (2,1): .
  • Elemento (1,3): deve ser igual a elemento (3,1): 1 ⇒ .
  • Elemento (2,3): 1 deve ser igual a elemento (3,2): 1 ⇒ Já está ok.
Aqui temos um problema: não pode ser simultaneamente 1 e 2. Isso significa que a única possibilidade de a matriz ser simétrica é se o sistema for tal que e ao mesmo tempo, o que é impossível.

Passo 4

Como não existe um valor de que torne a matriz simétrica, o sistema nunca será SPD. Não precisamos verificar a parte da definida positiva porque a simetria já não é atendida.

Resposta

Não existe valor de que faz o sistema ser SPD.

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