Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Nosso objetivo é resolver esse sistema seguindo alguns passos importantes:
Encontrar as matrizes , e a matriz aumentada : Isso nos ajuda a visualizar o sistema de uma forma que facilita a resolução.
Escalonar a matriz aumentada : Isso significa simplificar a matriz para uma forma onde conseguimos identificar as soluções mais facilmente.
Determinar as variáveis livres e dependentes: As variáveis livres são aquelas que podem assumir qualquer valor, enquanto as dependentes dependem das livres.
Classificar o sistema: Vamos ver se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Resolver o sistema (se houver solução): Finalmente, encontramos os valores das variáveis que satisfazem todas as equações.
Vamos seguir esses passos juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as matrizes x + y - z = -1 2x + y - z = 1 3x + y + 2z = 5 4x + 2y + z = 4 , A = 1 & 1 & -1 2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 4 & 2 & 1 e a matriz aumentada b = -1 1 5 4 .
Agora que temos as matrizes definidas, vamos para o próximo passo!
Passo 3
Agora, vamos escalonar a matriz aumentada 1 & 1 & -1 & mid & -1 2 & 1 & -1 & mid & 1 3 & 1 & 2 & mid & 5 4 & 2 & 1 & mid & 4 para facilitar a resolução do sistema. Escalonar significa transformar a matriz em uma forma triangular, onde podemos resolver as variáveis de forma sequencial.
Vamos usar operações com linhas para simplificar:
Matriz inicial:
2 - 2 times 1 = 0
Passo 3.1: Tornar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição 1 - 2 times 1 = -1 ) iguais a zero.
O último linha é uma equação redundante, pois sempre será verdadeira.
Como temos o mesmo número de pivôs que de variáveis, e não há contradições, o sistema é compatível determinado, ou seja, possui uma única solução.
Passo 6
Vamos resolver o sistema usando a matriz escalonada.
A partir da matriz escalonada:
x + y - z = -1 y - z = -3 z = 23
Passo 6.1: Começamos pela terceira equação:
z = 23
Passo 6.2: Substituímos y - 23 = -3 Rightarrow y = -3 + 23 Rightarrow y = -73 na segunda equação para encontrar x + (-73) - 23 = -1 Rightarrow x - 73 - 23 = -1 Rightarrow x - 93 = -1 Rightarrow x - 3 = -1 Rightarrow x = 2 :
Passo 6.3: Agora, substituímos e na primeira equação para encontrar :