Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(b) rrx+y-z= & -1 2 x+y-z= & 1 3 x+y+2 z= & 5 4 x+2 y+z= & 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Nosso objetivo é resolver esse sistema seguindo alguns passos importantes:
  1. Encontrar as matrizes , e a matriz aumentada : Isso nos ajuda a visualizar o sistema de uma forma que facilita a resolução.
  2. Escalonar a matriz aumentada : Isso significa simplificar a matriz para uma forma onde conseguimos identificar as soluções mais facilmente.
  3. Determinar as variáveis livres e dependentes: As variáveis livres são aquelas que podem assumir qualquer valor, enquanto as dependentes dependem das livres.
  4. Classificar o sistema: Vamos ver se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
  5. Resolver o sistema (se houver solução): Finalmente, encontramos os valores das variáveis que satisfazem todas as equações.
Vamos seguir esses passos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes x + y - z = -1 2x + y - z = 1 3x + y + 2z = 5 4x + 2y + z = 4 , A = 1 & 1 & -1 2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 4 & 2 & 1 e a matriz aumentada b = -1 1 5 4 .
Dado o sistema:
[A mid b] = 1 & 1 & -1 & mid & -1 2 & 1 & -1 & mid & 1 3 & 1 & 2 & mid & 5 4 & 2 & 1 & mid & 4
Matriz (matriz dos coeficientes):
Vetor (vetor dos termos constantes):
Matriz aumentada :
Agora que temos as matrizes definidas, vamos para o próximo passo!

Passo 3

Agora, vamos escalonar a matriz aumentada 1 & 1 & -1 & mid & -1 2 & 1 & -1 & mid & 1 3 & 1 & 2 & mid & 5 4 & 2 & 1 & mid & 4 para facilitar a resolução do sistema. Escalonar significa transformar a matriz em uma forma triangular, onde podemos resolver as variáveis de forma sequencial.
Vamos usar operações com linhas para simplificar:
Matriz inicial:
2 - 2 times 1 = 0
Passo 3.1: Tornar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição 1 - 2 times 1 = -1 ) iguais a zero.
  • Linha 2: -1 - 2 times (-1) = 1
1 - 2 times (-1) = 3
3 - 3 times 1 = 0
1 - 3 times 1 = -2
2 - 3 times (-1) = 5
  • Linha 3: 5 - 3 times (-1) = 8
4 - 4 times 1 = 0
2 - 4 times 1 = -2
1 - 4 times (-1) = 5
4 - 4 times (-1) = 8
  • Linha 4: 1 & 1 & -1 & mid & -1 0 & -1 & 1 & mid & 3 0 & -2 & 5 & mid & 8 0 & -2 & 5 & mid & 8
0 & 1 & -1 & mid & -3
1 & 1 & -1 & mid & -1 0 & 1 & -1 & mid & -3 0 & -2 & 5 & mid & 8 0 & -2 & 5 & mid & 8
0 + 2 times 0 = 0
-2 + 2 times 1 = 0
Matriz após Passo 3.1:
5 + 2 times (-1) = 3
Passo 3.2: Tornar o elemento 8 + 2 times (-3) = 2 igual a 1. Podemos multiplicar a Linha 2 por -1:
0 + 2 times 0 = 0
Matriz após Passo 3.2:
-2 + 2 times 1 = 0
Passo 3.3: Eliminar os elementos abaixo de 5 + 2 times (-1) = 3 :
  • Linha 3: 8 + 2 times (-3) = 2
1 & 1 & -1 & mid & -1 0 & 1 & -1 & mid & -3 0 & 0 & 3 & mid & 2 0 & 0 & 3 & mid & 2
0 & 0 & 1 & mid & 23
1 & 1 & -1 & mid & -1 0 & 1 & -1 & mid & -3 0 & 0 & 1 & mid & 23 0 & 0 & 3 & mid & 2
0 - 3 times 0 = 0
  • Linha 4: 0 - 3 times 0 = 0
3 - 3 times 1 = 0
2 - 3 times 23 = 0
1 & 1 & -1 & mid & -1 0 & 1 & -1 & mid & -3 0 & 0 & 1 & mid & 23 0 & 0 & 0 & mid & 0
Matriz após Passo 3.3:
Passo 3.4: Tornar o elemento igual a 1, dividindo a Linha 3 por 3:
Matriz após Passo 3.4:
Passo 3.5: Eliminar o elemento abaixo de :
  • Linha 4:
Matriz após Passo 3.5:
Pronto! A matriz está escalonada.

Passo 4

Agora que escalonamos a matriz, vamos identificar quais variáveis são livres e quais são dependentes.
Observe que temos três variáveis: 1 & 1 & -1 & mid & -1 0 & 1 & -1 & mid & -3 0 & 0 & 1 & mid & 23 0 & 0 & 0 & mid & 0 , e .
Na matriz escalonada:
  • A primeira coluna tem um 1 na primeira linha: isso faz com que seja uma variável dependente.
  • A segunda coluna tem um 1 na segunda linha: isso faz com que seja também dependente.
  • A terceira coluna tem um 1 na terceira linha: também é dependente.
Como todas as variáveis correspondem a pivôs (os 1s principais), não temos variáveis livres nesse sistema. Todas as variáveis são dependentes.

Passo 5

Vamos classificar o sistema.
Observamos que a matriz escalonada tem a seguinte forma:
1 & 1 & -1 & mid & -1 0 & 1 & -1 & mid & -3 0 & 0 & 1 & mid & 23 0 & 0 & 0 & mid & 0
O último linha é uma equação redundante, pois sempre será verdadeira.
Como temos o mesmo número de pivôs que de variáveis, e não há contradições, o sistema é compatível determinado, ou seja, possui uma única solução.

Passo 6

Vamos resolver o sistema usando a matriz escalonada.
A partir da matriz escalonada:
x + y - z = -1 y - z = -3 z = 23
Passo 6.1: Começamos pela terceira equação:
z = 23
Passo 6.2: Substituímos y - 23 = -3 Rightarrow y = -3 + 23 Rightarrow y = -73 na segunda equação para encontrar x + (-73) - 23 = -1 Rightarrow x - 73 - 23 = -1 Rightarrow x - 93 = -1 Rightarrow x - 3 = -1 Rightarrow x = 2 :
Passo 6.3: Agora, substituímos e na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 2, y = -73, z = 23

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