Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
T(x[n])=sumk=n-5^n+5 x[k]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema definido por . Nosso objetivo é descobrir se esse sistema é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para isso, vamos usar conceitos de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT) e lembrar o que cada uma dessas propriedades significa.

Passo 2

Estabilidade: Um sistema é estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. Ou seja, se os valores de são finitos, então também deve ser finito.
No nosso caso, como estamos somando um número finito de termos (de a , totalizando 11 termos), se cada é limitado, a soma também será limitada. Então, o sistema é estável.

Passo 3

Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, ou seja, para .
No nosso sistema, a soma vai de até . Isso significa que a saída em depende de futuros valores de (até ). Como depende de valores futuros, o sistema não é causal.

Passo 4

Linearidade: Um sistema é linear se satisfaz os princípios da aditividade e homogeneidade. Ou seja, T(a x1[n] + b x2[n]) = sumk=n-5^n+5 (a x1[k] + b x2[k]) = a sumk=n-5^n+5 x1[k] + b sumk=n-5^n+5 x2[k] = a T(x1[n]) + b T(x2[n]) .
No nosso caso, a soma é uma operação linear. Se aplicarmos a , teremos:
Portanto, o sistema é linear.

Passo 5

Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada no tempo, a saída também se desloca da mesma forma. Formalmente, se T(x[n - n0]) = sumk=n - n0 - 5^n - n0 + 5 x[k] , então para qualquer deslocamento .
Vamos verificar:
Comparando com , vemos que são iguais. Portanto, o sistema é invariante no tempo.

Passo 6

Sem Memória: Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada naquele mesmo instante, ou seja, depende apenas de .
No nosso sistema, , que depende de 11 valores de diferentes de . Então, o sistema não é sem memória.

Resposta

Resumindo, o sistema é:
  • Estável
  • Não Causal
  • Linear
  • Invariante no Tempo
  • Com Memória

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