Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema definido por
. Nosso objetivo é descobrir se esse sistema é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para isso, vamos usar conceitos de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT) e lembrar o que cada uma dessas propriedades significa.
Passo 2
Estabilidade: Um sistema é estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. Ou seja, se os valores de
são finitos, então
também deve ser finito.
No nosso caso, como estamos somando um número finito de termos (de
a
, totalizando 11 termos), se cada
é limitado, a soma também será limitada. Então, o sistema é estável.
Passo 3
Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante
depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, ou seja,
para
.
No nosso sistema, a soma vai de
até
. Isso significa que a saída em
depende de futuros valores de
(até
). Como depende de valores futuros, o sistema não é causal.
Passo 4
Linearidade: Um sistema é linear se satisfaz os princípios da aditividade e homogeneidade. Ou seja,
.
No nosso caso, a soma é uma operação linear. Se aplicarmos
a
, teremos:
Portanto, o sistema é linear.
Passo 5
Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada no tempo, a saída também se desloca da mesma forma. Formalmente, se
, então
para qualquer deslocamento
.
Vamos verificar:
Comparando com
, vemos que são iguais. Portanto, o sistema é invariante no tempo.
Passo 6
Sem Memória: Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante
depende apenas da entrada naquele mesmo instante, ou seja,
depende apenas de
.
No nosso sistema,
, que depende de 11 valores de
diferentes de
. Então, o sistema não é sem memória.
Resposta
Resumindo, o sistema
é:
- Estável
- Não Causal
- Linear
- Invariante no Tempo
- Com Memória