Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema definido por
e precisamos descobrir se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para isso, vamos precisar entender cada um desses conceitos e aplicar ao sistema dado.
Passo 2
Estabilidade: Um sistema é estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. Aqui,
é a entrada e
é uma constante adicionada.
Como
é a função degrau de Heaviside deslocada, ela vale 1 para
. Então,
é igual a 3 para
e 0 caso contrário. Se
for limitada, adicionar 3 não vai fazer com que a saída fuja dos limites. Portanto, o sistema é estável.
Passo 3
Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores atuais e passados da entrada. Olhando para
, a saída depende de
e de
.
Aqui,
depende de
, ou seja, do futuro (porque
). Como a saída depende de um termo que olha para o futuro, o sistema não é causal.
Passo 4
Linearidade: Um sistema é linear se satisfaz os princípios da superposição e da homogeneidade. Isso significa que se duas entradas diferentes são aplicadas, a saída correspondente é a soma das saídas individuais, e se uma entrada é escalada, a saída também é escalada pelo mesmo fator.
Vamos ver
:
- Se tivermos duas entradas
e , a saída seria . - Separadamente,
e . - Somando, temos
, que não é igual a .
Como a superposição não se mantém, o sistema não é linear.
Passo 5
Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se suas propriedades não mudam com o deslocamento no tempo. Ou seja, se você desloca a entrada no tempo, a saída deve deslocar da mesma forma.
Vamos deslocar a entrada:
.
Então, .
Então,
Se comparemos com deslocar a saída original:
.
Como são iguais, o sistema é invariante no tempo.
Passo 6
Sem Memória: Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada naquele mesmo instante.
No nosso sistema,
, a saída depende de
(até o momento) e
, que é uma constante em relação ao tempo.
Como a saída não depende de valores passados ou futuros da entrada, o sistema é sem memória.
Resposta
O sistema
é estável, não causal, não linear, invariante no tempo e sem memória.