Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
T(x[n])=x[n]+3 u[n+1]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema definido por e precisamos descobrir se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para isso, vamos precisar entender cada um desses conceitos e aplicar ao sistema dado.

Passo 2

Estabilidade: Um sistema é estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. Aqui, é a entrada e é uma constante adicionada.
Como é a função degrau de Heaviside deslocada, ela vale 1 para . Então, é igual a 3 para e 0 caso contrário. Se for limitada, adicionar 3 não vai fazer com que a saída fuja dos limites. Portanto, o sistema é estável.

Passo 3

Causalidade: Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores atuais e passados da entrada. Olhando para , a saída depende de e de .
Aqui, depende de , ou seja, do futuro (porque ). Como a saída depende de um termo que olha para o futuro, o sistema não é causal.

Passo 4

Linearidade: Um sistema é linear se satisfaz os princípios da superposição e da homogeneidade. Isso significa que se duas entradas diferentes são aplicadas, a saída correspondente é a soma das saídas individuais, e se uma entrada é escalada, a saída também é escalada pelo mesmo fator.
Vamos ver :
  • Se tivermos duas entradas e , a saída seria .
  • Separadamente, e .
  • Somando, temos , que não é igual a .
Como a superposição não se mantém, o sistema não é linear.

Passo 5

Invariância no Tempo: Um sistema é invariante no tempo se suas propriedades não mudam com o deslocamento no tempo. Ou seja, se você desloca a entrada no tempo, a saída deve deslocar da mesma forma.
Vamos deslocar a entrada: .
Então, .
Se comparemos com deslocar a saída original: .
Como são iguais, o sistema é invariante no tempo.

Passo 6

Sem Memória: Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada naquele mesmo instante.
No nosso sistema, , a saída depende de (até o momento) e , que é uma constante em relação ao tempo.
Como a saída não depende de valores passados ou futuros da entrada, o sistema é sem memória.

Resposta

O sistema é estável, não causal, não linear, invariante no tempo e sem memória.

Exercícios relacionados