Considerando a função de transferência discreta a seguir, determine: A transformada inversa,
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência discreta dada por:
O objetivo é encontrar a transformada inversa de
, ou seja, determinar
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Transformada Z, especificamente a transformada inversa, e técnicas de manipulação de frações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o trabalho. Observe que temos potências negativas de
, que podem complicar a análise. Vamos multiplicar numerador e denominador por
para eliminar essas potências negativas:
Agora temos uma expressão mais manejável:
Passo 3
Vamos fatorar o denominador para facilitar a aplicação da transformada inversa. Já temos um fator linear
e um polinômio quadrático
. Vamos verificar se o quadrático pode ser fatorado ou se precisamos usar a fórmula de Bhaskara.
Calculando o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais:
Então,
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 4
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador:
Para encontrar os valores de
,
e
, podemos escolher valores específicos de
que simplifiquem a equação.
Passo 5
Vamos encontrar
substituindo
:
Agora, para encontrar
, substituímos
:
Finalmente, para
, substituímos
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 7
Para encontrar a transformada inversa
, usamos a tabela da Transformada Z Inversa para cada termo:
- Para
, a transformada inversa é , onde é a função degrau.
Aplicando isso aos termos:
-
se transforma em -
pode ser reescrito como , então a transformada inversa é -
é , então a transformada inversa é
Passo 8
Finalmente, somamos todas as transformadas inversas:
Resposta
A transformada inversa é dada por: