Considerando a função de transferência discreta a seguir, determine: A transformada inversa, x(k).
X(z)=z^-1(1-z^-1)(1+1,3 z^-1+0,4 z^-2)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência discreta dada por:
X(z)=z^-1(1-z^-1)(1+1,3 z^-1+0,4 z^-2)
O objetivo é encontrar a transformada inversa de X(z), ou seja, determinar x(k). Para isso, vamos precisar usar conceitos de Transformada Z, especificamente a transformada inversa, e técnicas de manipulação de frações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o trabalho. Observe que temos potências negativas de z, que podem complicar a análise. Vamos multiplicar numerador e denominador por z^2 para eliminar essas potências negativas:
X(z) = z^-1 cdot z^2(1 - z^-1) cdot (1 + 1,3 z^-1 + 0,4 z^-2) cdot z^2 = z(z - 1)(z^2 + 1,3 z + 0,4)
Agora temos uma expressão mais manejável:
X(z) = z(z - 1)(z^2 + 1,3 z + 0,4)

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para facilitar a aplicação da transformada inversa. Já temos um fator linear (z - 1) e um polinômio quadrático (z^2 + 1,3 z + 0,4). Vamos verificar se o quadrático pode ser fatorado ou se precisamos usar a fórmula de Bhaskara.
Calculando o discriminante:
De
Como De 0, temos duas raízes reais:
z = -1,3 pm raiz0,092 = -1,3 pm 0,32
Então,
z1 = -1,3 + 0,32 = -0,5 z2 = -1,3 - 0,32 = -0,8
Portanto, o denominador fatorado fica:
(z - 1)(z + 0,5)(z + 0,8)

Passo 4

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa. Queremos escrever:
z(z - 1)(z + 0,5)(z + 0,8) = Az - 1 + Bz + 0,5 + Cz + 0,8
Multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador:
z = A(z + 0,5)(z + 0,8) + B(z - 1)(z + 0,8) + C(z - 1)(z + 0,5)
Para encontrar os valores de A, B e C, podemos escolher valores específicos de z que simplifiquem a equação.

Passo 5

Vamos encontrar A substituindo z = 1:
1 = A(1 + 0,5)(1 + 0,8) 1 = A(1,5)(1,8) 1 = A(2,7) A = 12,7 approx 0,3704
Agora, para encontrar B, substituímos z = -0,5:
-0,5 = B(-0,5 - 1)(-0,5 + 0,8) -0,5 = B(-1,5)(0,3) -0,5 = B(-0,45) B = -0,5-0,45 approx 1,1111
Finalmente, para C, substituímos z = -0,8:
-0,8 = C(-0,8 - 1)(-0,8 + 0,5) -0,8 = C(-1,8)(-0,3) -0,8 = C(0,54) C = -0,80,54 approx -1,4815

Passo 6

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
X(z) = 0,3704z - 1 + 1,1111z + 0,5 + -1,4815z + 0,8

Passo 7

Para encontrar a transformada inversa x(k), usamos a tabela da Transformada Z Inversa para cada termo:
  1. Para 1z - a, a transformada inversa é a^k u(k), onde u(k) é a função degrau.
Aplicando isso aos termos:
  • 0,3704z - 1 se transforma em 0,3704 cdot 1^k u(k) = 0,3704 u(k)
  • 1,1111z + 0,5 pode ser reescrito como 1,1111z - (-0,5), então a transformada inversa é 1,1111 cdot (-0,5)^k u(k)
  • -1,4815z + 0,8 é -1,4815z - (-0,8), então a transformada inversa é -1,4815 cdot (-0,8)^k u(k)

Passo 8

Finalmente, somamos todas as transformadas inversas:
x(k) = 0,3704 u(k) + 1,1111 cdot (-0,5)^k u(k) - 1,4815 cdot (-0,8)^k u(k)

Resposta

A transformada inversa é dada por:
x(k) = 0,3704 cdot u(k) + 1,1111 cdot (-0,5)^k cdot u(k) - 1,4815 cdot (-0,8)^k cdot u(k)

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