Determine os 4 primeiros termos da equação em tempo discreto, sabendo que x(k)=0 para k<0. O sinal de entrada é definido como: u(k)=1 para k >= 0 e u(k)=0 para k<0.
2 x(k)-2 x(k-1)+x(k-2)=u(k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação em tempo discreto que relaciona 2x(k) - 2x(k-1) + x(k-2) = u(k) com . Nosso objetivo é encontrar os 4 primeiros termos de (ou seja, , , e ). Para isso, vamos usar a equação dada:
Sabemos que para e que o sinal de entrada para . Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Vamos começar encontrando 2x(0) - 2x(-1) + x(-2) = u(0) . Substituímos 2x(0) - 0 + 0 = 1 Rightarrow 2x(0) = 1 Rightarrow x(0) = 12 na equação:
Como para , temos e . E sabemos que . Então:

Passo 3

Agora vamos encontrar 2x(1) - 2x(0) + x(-1) = u(1) . Substituímos 2x(1) - 2 ( 12 ) + 0 = 1 Rightarrow 2x(1) - 1 = 1 Rightarrow 2x(1) = 2 Rightarrow x(1) = 1 na equação:
Sabemos que e . Já encontramos . Então:

Passo 4

Vamos para 2x(2) - 2x(1) + x(0) = u(2) . Substituímos 2x(2) - 2(1) + 12 = 1 Rightarrow 2x(2) - 2 + 12 = 1 na equação:
2x(2) - 32 = 1 Rightarrow 2x(2) = 52 Rightarrow x(2) = 54
Sabemos que , e . Então:
Vamos simplificar:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar 2x(3) - 2x(2) + x(1) = u(3) . Substituímos 2x(3) - 2 ( 54 ) + 1 = 1 Rightarrow 2x(3) - 52 + 1 = 1 na equação:
2x(3) - 32 = 1 Rightarrow 2x(3) = 52 Rightarrow x(3) = 54
Sabemos que , e . Então:
Simplificando:

Resposta

Os primeiros 4 termos da sequência x(0) = 12, x(1) = 1, x(2) = 54, x(3) = 54 são:

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