Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o sistema
e verificar se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa e como aplicá-las nesse sistema específico.
Passo 2
Estabilidade
Primeiro, vamos falar sobre estabilidade. Um sistema é estável no sentido BIBO (Bounded Input, Bounded Output) se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. Ou seja, se
para todo
, então devemos ter
para algum
.
No nosso caso,
. Isso significa que a saída é apenas a entrada invertida no tempo. Se a entrada estiver limitada, a saída também estará limitada porque estamos apenas reorganizando os valores da entrada, sem amplificá-los nem introduzir novos valores. Portanto, o sistema é estável.
Passo 3
Causalidade
Agora, vamos para a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante
depender apenas dos valores da entrada no presente e no passado, ou seja, para
.
No nosso sistema,
. Aqui, a saída no tempo
depende do valor da entrada em
. Se
for positivo, isso significa que estamos acessando valores futuros da entrada, o que não é permitido para sistemas causais. Portanto, o sistema não é causal.
Passo 4
Linearidade
Vamos falar sobre linearidade. Um sistema é linear se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade. Ou seja, para quaisquer entradas
e
e constantes
e
, devemos ter:
No nosso caso:
Isso mostra que o sistema satisfaz as duas propriedades de linearidade. Portanto, o sistema é linear.
Passo 5
Invariância no Tempo
Agora, vamos verificar se o sistema é invariante no tempo. Um sistema é invariante no tempo se, ao atrasarmos a entrada no tempo, a saída também for atrasada da mesma forma. Matemáticamente, se
, onde
.
Vamos testar:
Por outro lado, atrasar a saída
em
seria:
Como
, o sistema é invariante no tempo.
Passo 6
Sem Memória
Por fim, vamos ver se o sistema é sem memória. Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante
depende apenas da entrada nesse mesmo instante, ou seja,
depende apenas de
.
No nosso sistema,
. A saída em
depende de
, que é um valor em outro instante de tempo, diferente de
(a menos que
). Portanto, a saída depende de valores passados ou futuros da entrada, não apenas do presente. Assim, o sistema tem memória.
Resposta
O sistema
é:
- Estável: Sim
- Causal: Não
- Linear: Sim
- Invariante no Tempo: Sim
- Sem Memória: Não