Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória:
T(x[n])=x[-n]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o sistema e verificar se ele é estável, causal, linear, invariante no tempo e sem memória. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa e como aplicá-las nesse sistema específico.

Passo 2

Estabilidade
Primeiro, vamos falar sobre estabilidade. Um sistema é estável no sentido BIBO (Bounded Input, Bounded Output) se, para qualquer entrada limitada, a saída também for limitada. Ou seja, se para todo , então devemos ter para algum .
No nosso caso, . Isso significa que a saída é apenas a entrada invertida no tempo. Se a entrada estiver limitada, a saída também estará limitada porque estamos apenas reorganizando os valores da entrada, sem amplificá-los nem introduzir novos valores. Portanto, o sistema é estável.

Passo 3

Causalidade
Agora, vamos para a causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depender apenas dos valores da entrada no presente e no passado, ou seja, para .
No nosso sistema, . Aqui, a saída no tempo depende do valor da entrada em . Se for positivo, isso significa que estamos acessando valores futuros da entrada, o que não é permitido para sistemas causais. Portanto, o sistema não é causal.

Passo 4

Linearidade
Vamos falar sobre linearidade. Um sistema é linear se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade. Ou seja, para quaisquer entradas T(a x1[n] + b x2[n]) = a T(x1[n]) + b T(x2[n]) e T(a x1[n] + b x2[n]) = a x1[-n] + b x2[-n] = a T(x1[n]) + b T(x2[n]) e constantes e , devemos ter:
No nosso caso:
Isso mostra que o sistema satisfaz as duas propriedades de linearidade. Portanto, o sistema é linear.

Passo 5

Invariância no Tempo
Agora, vamos verificar se o sistema é invariante no tempo. Um sistema é invariante no tempo se, ao atrasarmos a entrada no tempo, a saída também for atrasada da mesma forma. Matemáticamente, se T(x[n - n0]) = x[-(n - n0)] = x[-n + n0] , onde y[n - n0] = x[-(n - n0)] = x[-n + n0] .
Vamos testar:
Por outro lado, atrasar a saída em seria:
Como , o sistema é invariante no tempo.

Passo 6

Sem Memória
Por fim, vamos ver se o sistema é sem memória. Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante depende apenas da entrada nesse mesmo instante, ou seja, depende apenas de .
No nosso sistema, . A saída em depende de , que é um valor em outro instante de tempo, diferente de (a menos que ). Portanto, a saída depende de valores passados ou futuros da entrada, não apenas do presente. Assim, o sistema tem memória.

Resposta

O sistema é:
  • Estável: Sim
  • Causal: Não
  • Linear: Sim
  • Invariante no Tempo: Sim
  • Sem Memória: Não

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