Considere um sistema com a equação de diferenças linear com coeficientes constantes
y[n]-34 y[n-1]+18 y[n-2]=2 x[n-1]
Determine y[n] para n >= 0 quando x[n]=de e y[n]=0, n<0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma equação de diferenças linear com coeficientes constantes:
y[n] - 34 y[n-1] + 18 y[n-2] = 2 x[n-1]
O que precisamos fazer é encontrar a sequência para todos os , dado que (a função delta de Kronecker) e para . Vamos usar métodos de recorrência para resolver essa equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função delta x[n] = de. Ela é igual a 1 quando e 0 para quaisquer outros valores de . Ou seja:
á
Isso significa que nossa entrada só “aciona” a equação quando .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação de diferenças para diferentes valores de y[0] - 34 y[-1] + 18 y[-2] = 2 x[-1] . Como y[0] - 0 + 0 = 0 y[0] = 0 depende de valores anteriores ( e ), precisamos começar com os menores valores de e avançar.
Começamos com :
Sabemos que para , e . Então:

Passo 4

Agora, vamos para y[1] - 34 y[0] + 18 y[-1] = 2 x[0] :
y[1] - 34 times 0 + 18 times 0 = 2 times 1 y[1] = 2
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 5

Seguimos para y[2] - 34 y[1] + 18 y[0] = 2 x[1] :
y[2] - 34 times 2 + 18 times 0 = 0 y[2] - 32 = 0 y[2] = 32
Sabemos que (porque ) e substituímos os valores:

Passo 6

Para y[3] - 34 y[2] + 18 y[1] = 2 x[2] :
y[3] - 34 times 32 + 18 times 2 = 0 y[3] - 98 + 14 = 0 y[3] - 78 = 0 y[3] = 78
Como :

Passo 7

Continuando dessa forma, podemos calcular para valores maiores de . Porém, percebemos que a sequência começa a oscilar e diminuir com o passar dos valores de , devido aos coeficientes da equação.

Resposta

Os primeiros valores de y[0] = 0 y[1] = 2 y[2] = dfrac32 y[3] = dfrac78 vdots para são:
Ou seja, a sequência começa em 0, depois assume os valores 2, 1.5, 0.875, e assim por diante, seguindo a equação de diferenças dada.

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