Considere um sistema com a equação de diferenças linear com coeficientes constantes
Determine para quando e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma equação de diferenças linear com coeficientes constantes:
O que precisamos fazer é encontrar a sequência para todos os , dado que (a função delta de Kronecker) e para . Vamos usar métodos de recorrência para resolver essa equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função delta . Ela é igual a 1 quando e 0 para quaisquer outros valores de . Ou seja:
Isso significa que nossa entrada só “aciona” a equação quando .
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação de diferenças para diferentes valores de . Como depende de valores anteriores ( e ), precisamos começar com os menores valores de e avançar.
Começamos com :
Sabemos que para , e . Então:
Passo 4
Agora, vamos para :
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Seguimos para :
Sabemos que (porque ) e substituímos os valores:
Passo 6
Para :
Como :
Passo 7
Continuando dessa forma, podemos calcular para valores maiores de . Porém, percebemos que a sequência começa a oscilar e diminuir com o passar dos valores de , devido aos coeficientes da equação.
Resposta
Os primeiros valores de para são:
Ou seja, a sequência começa em 0, depois assume os valores 2, 1.5, 0.875, e assim por diante, seguindo a equação de diferenças dada.