Considere a equação de diferenças a seguir
Qual a resposta ao degrau desse sistema?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma equação de diferenças e pede para encontrarmos a resposta ao degrau desse sistema. Esse tipo de problema faz parte da área de Sistemas Lineares e Tempo Invariantes (SLTI), especialmente na análise de sistemas discretos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as equações de diferenças e como encontrar a resposta a um sinal de degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é uma resposta ao degrau. A resposta ao degrau é a saída do sistema quando a entrada é uma função degrau, que em termos discretos é definida como:
Então, vamos assumir que a entrada
é o degrau
. Porém, na equação dada temos
, então a entrada efetiva será
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na equação de diferenças:
Queremos encontrar
para todo
. Como estamos buscando a resposta ao degrau, vamos resolver essa equação considerando condições iniciais nulas, ou seja,
.
Passo 4
Vamos resolver a equação de diferenças passo a passo. Para
:
Sabemos que
e
, então:
Para
:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Continuando para
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Para
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Podemos notar que o padrão continua, e para cada
, podemos calcular
usando os valores anteriores. No entanto, para obter a resposta ao degrau completa, podemos utilizar a transformada Z ou métodos de recorrência mais avançados. Para simplificar, vamos considerar que a sequência
tende a um valor estável quando
tende ao infinito.
Igualando
na equação principal:
Resposta
A resposta ao degrau desse sistema é: