Considere a equação de diferenças a seguir
y[n]-56 y[n-1]+16 y[n-2]=13 x[n-1]
Qual a resposta ao degrau desse sistema?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma equação de diferenças e pede para encontrarmos a resposta ao degrau desse sistema. Esse tipo de problema faz parte da área de Sistemas Lineares e Tempo Invariantes (SLTI), especialmente na análise de sistemas discretos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as equações de diferenças e como encontrar a resposta a um sinal de degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é uma resposta ao degrau. A resposta ao degrau é a saída do sistema quando a entrada é uma função degrau, que em termos discretos é definida como:
u[n] = 1, & n >= 0 0, & n < 0
Então, vamos assumir que a entrada é o degrau . Porém, na equação dada temos , então a entrada efetiva será .

Passo 3

Agora, vamos substituir y[n] - 56 y[n-1] + 16 y[n-2] = 13 u[n-1] por na equação de diferenças:
Queremos encontrar para todo . Como estamos buscando a resposta ao degrau, vamos resolver essa equação considerando condições iniciais nulas, ou seja, .

Passo 4

Vamos resolver a equação de diferenças passo a passo. Para y[0] - 56 y[-1] + 16 y[-2] = 13 u[-1] :
y[0] = 0
Sabemos que y[1] - 56 y[0] + 16 y[-1] = 13 u[0] e y[1] - 0 + 0 = 13 cdot 1 y[1] = 13 , então:
Para :
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 5

Continuando para y[2] - 56 y[1] + 16 y[0] = 13 u[1] :
y[2] - 56 cdot 13 + 0 = 13 cdot 1 y[2] - 518 = 13 y[2] = 13 + 518 = 618 + 518 = 1118
Substituindo os valores:

Passo 6

Para y[3] - 56 y[2] + 16 y[1] = 13 u[2] :
y[3] - 56 cdot 1118 + 16 cdot 13 = 13 y[3] - 55108 + 118 = 13 y[3] = 13 + 55108 - 118 y[3] = 36108 + 55108 - 6108 = 85108 = 85108
Substituindo os valores:

Passo 7

Podemos notar que o padrão continua, e para cada y - 56 y + 16 y = 13 u[infty -1] y (1 - 56 + 16) = 13 y (66 - 56 + 16) = 13 y cdot 26 = 13 y = 13 cdot 62 y = 1 , podemos calcular usando os valores anteriores. No entanto, para obter a resposta ao degrau completa, podemos utilizar a transformada Z ou métodos de recorrência mais avançados. Para simplificar, vamos considerar que a sequência tende a um valor estável quando tende ao infinito.
Igualando na equação principal:

Resposta

A resposta ao degrau desse sistema é:
y[n] = 1 para n >= 3

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