Em cada um dos subconjuntos abaixo determine uma base de W e estenda-a a uma base de V.
(a) Se V=R^3 e
W=(x, y, z): x-3 y+3 z=x+5 y-z=x+y+z=0
(b) Se V=R^4 e
W=[(1,-2,0,1),(0,0,2,5),(-2,4,2,3)]
© Se V=R^4 e
W=[(1,1,1,1),(3,2,0,3),(0,-1,0,3)]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial x - 3y + 3z = 0 x + 5y - z = 0 x + y + z = 0 e um subconjunto definido pelas equações:
O objetivo é encontrar uma base para e depois estender essa base para uma base de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, soluções homogêneas e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os vetores que pertencem a 1 & -3 & 3 1 & 5 & -1 1 & 1 & 1 x y z = 0 0 0 . Como todas as equações são iguais a zero, temos um sistema homogêneo. A solução desse sistema nos dará o subespaço .
Escrevendo o sistema de maneira matricial:

[


]

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Nosso objetivo é reduzir a matriz aumentada para a forma escalonada.
Começamos com a matriz aumentada:
[ccc|c 1 & -3 & 3 & 0 1 & 5 & -1 & 0 1 & 1 & 1 & 0 ]
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
1 - 1 = 0, 5 - (-3) = 8, -1 - 3 = -4, 0 - 0 = 0
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
1 - 1 = 0, 1 - (-3) = 4, 1 - 3 = -2, 0 - 0 = 0
A matriz fica:
[ccc|c 1 & -3 & 3 & 0 0 & 8 & -4 & 0 0 & 4 & -2 & 0 ]

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas dividindo por 4:
Linha 2 dividida por 4:
0, 8/4 = 2, -4/4 = -1, 0
Linha 3 dividida por 4:
0, 4/4 = 1, -2/4 = -0.5, 0
A matriz fica:
[ccc|c 1 & -3 & 3 & 0 0 & 2 & -1 & 0 0 & 1 & -0.5 & 0 ]
Agora, vamos eliminar o 0 - 0 = 0, 1 - 0.5 * 2 = 0, -0.5 - 0.5 * (-1) = 0, 0 - 0 = 0 da terceira linha usando a segunda linha. Multiplicamos a segunda linha por [ccc|c 1 & -3 & 3 & 0 0 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ] e subtraímos da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 0.5 * Linha 2:
A matriz fica:

Passo 5

Agora, temos a matriz reduzida:
x - 3y + 3z = 0 2y - z = 0
Vamos expressar as variáveis em termos de uma variável livre. Aqui, 2y - z = 0 Rightarrow z = 2y pode ser considerada livre. Vamos resolver a partir da segunda equação:
x - 3y + 3(2y) = 0 Rightarrow x - 3y + 6y = 0 Rightarrow x + 3y = 0 Rightarrow x = -3y
Substituindo x = -3y, z = 2y na primeira equação:
Então, temos:

Passo 6

Podemos parametrizar as soluções em função de (x, y, z) = (-3t, t, 2t) = t(-3, 1, 2) . Seja , (-3,, 1,, 2) , , onde é um número real. Então, os vetores de são:
Isso significa que todos os vetores de são múltiplos do vetor . Portanto, a base de é:

Passo 7

Agora, precisamos estender essa base para uma base de Se a(-3, 1, 2) + b(1, 0, 0) + c(0, 1, 0) = (0, 0, 0), . Sabemos que a dimensão de -3a + b = 0 a + c = 0 2a = 0 é 3, e a dimensão de é 1 (já que temos uma única base). Precisamos encontrar mais dois vetores que, juntos com , formem uma base de .
Escolhemos vetores que não estão em . Por exemplo, podemos escolher e .
Vamos verificar a independência linear:
temos o sistema:
Da terceira equação, . Então, e . Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

A base de , (-3,, 1,, 2),; (1,, 0,, 0),; (0,, 1,, 0) , é e uma base de é:

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