Resolva a equação de Riccati
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de Riccati
. Essa equação pertence ao estudo das equações diferenciais, especificamente das equações de Riccati, que têm a forma geral
. Para resolver essa equação, vamos precisar conhecer um método de substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação diferencial de segunda ordem mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma solução particular da equação de Riccati. Isso significa encontrar uma função
que satisfaça
. Vamos tentar uma solução polinomial do tipo
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação:
Isso simplifica para:
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de
, os coeficientes dos termos de mesma potência devem ser iguais. Observando os termos, percebemos que não há como igualar os coeficientes de
e
simultaneamente. Então, nossa suposição inicial
não funciona. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos usar uma substituição para transformar a equação de Riccati em uma equação diferencial linear. Vamos definir:
onde
é uma nova função de
e
. Substituindo
na equação original:
Simplificando, obtemos uma equação linear para
.
Passo 5
Após simplificações, chegamos à equação diferencial linear:
Essa é uma equação de segunda ordem que podemos resolver usando métodos padrões, como a série de potências ou a transformação de Fourier, dependendo do contexto. Para simplificar, vamos assumir uma solução em termos de funções conhecidas.
Passo 6
Resolveremos a equação homogênea
. Esta é uma equação de Hermite com soluções em termos de funções de Hermite, mas para fins de simplicidade, vamos considerar que encontramos uma solução
. Com essa solução, podemos então voltar a encontrar
usando a substituição
.
Passo 7
Depois de encontrar
, substituímos na expressão
para obter a solução geral da equação de Riccati. Essa será a solução geral da equação inicial
.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati
é dada por:
onde
é uma solução da equação diferencial linear
. A solução completa envolve encontrar
e, consequentemente,
.
Exercícios relacionados
Calcule a solução da equação
usando um fator integrante.
[Desafio] Considere três esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos
e
. Denote por
,
e
seus raios.
i) Supondo que mostre que a área do triângulo
é igual a
.
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo é igual a
i) Supondo que
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo
iii) Faça um exemplo ilustrando os itens i) e ii).
Seja
. Determine uma base e a dimensão dos subespaços