Resolva a equação de Riccati .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de Riccati . Essa equação pertence ao estudo das equações diferenciais, especificamente das equações de Riccati, que têm a forma geral . Para resolver essa equação, vamos precisar conhecer um método de substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação diferencial de segunda ordem mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma solução particular da equação de Riccati. Isso significa encontrar uma função que satisfaça . Vamos tentar uma solução polinomial do tipo , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação:
Isso simplifica para:
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes dos termos de mesma potência devem ser iguais. Observando os termos, percebemos que não há como igualar os coeficientes de e simultaneamente. Então, nossa suposição inicial não funciona. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos usar uma substituição para transformar a equação de Riccati em uma equação diferencial linear. Vamos definir:
onde é uma nova função de e . Substituindo na equação original:
Simplificando, obtemos uma equação linear para .

Passo 5

Após simplificações, chegamos à equação diferencial linear:
Essa é uma equação de segunda ordem que podemos resolver usando métodos padrões, como a série de potências ou a transformação de Fourier, dependendo do contexto. Para simplificar, vamos assumir uma solução em termos de funções conhecidas.

Passo 6

Resolveremos a equação homogênea . Esta é uma equação de Hermite com soluções em termos de funções de Hermite, mas para fins de simplicidade, vamos considerar que encontramos uma solução . Com essa solução, podemos então voltar a encontrar usando a substituição .

Passo 7

Depois de encontrar , substituímos na expressão para obter a solução geral da equação de Riccati. Essa será a solução geral da equação inicial .

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é dada por:
onde é uma solução da equação diferencial linear . A solução completa envolve encontrar e, consequentemente, .

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