Encontre a solução da equação de Bernoulli .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é assim: . A matéria aqui envolve equações diferenciais não homogêneas do tipo Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma mais simples usando uma substituição que facilita a solução.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos da equação de Bernoulli. A equação geral é:
No nosso caso, , (pois ) e .

Passo 3

Como a equação é de Bernoulli com e , vamos usar a substituição . Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Da equação original, temos . Substituindo na derivada de :

Passo 5

Lembre-se que , então . Substituindo na equação acima:
Essa é uma equação diferencial linear em .

Passo 6

Vamos rearranjar a equação:
Agora, identificamos que e . Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a :
A integral não tem solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la usando a função erro ( ):
Simplificando:

Passo 9

Lembrando que , então:
Podemos simplificar a constante:

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde é a constante de integração e é a função erro.

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