Encontre a solução da equação de Bernoulli
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é assim:
. A matéria aqui envolve equações diferenciais não homogêneas do tipo Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma mais simples usando uma substituição que facilita a solução.
Passo 2
Primeiro, identifique os termos da equação de Bernoulli. A equação geral é:
No nosso caso,
,
(pois
) e
.
Passo 3
Como a equação é de Bernoulli com
e
, vamos usar a substituição
. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Da equação original, temos
. Substituindo na derivada de
:
Passo 5
Lembre-se que
, então
. Substituindo na equação acima:
Essa é uma equação diferencial linear em
.
Passo 6
Vamos rearranjar a equação:
Agora, identificamos que
e
. Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral
não tem solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la usando a função erro (
):
Simplificando:
Passo 9
Lembrando que
, então:
Podemos simplificar a constante:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde
é a constante de integração e
é a função erro.
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ii)
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,
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e
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?