Encontre a solução da equação de Bernoulli d yd x+4 x y=(2 y)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é assim: . A matéria aqui envolve equações diferenciais não homogêneas do tipo Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma mais simples usando uma substituição que facilita a solução.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos da equação de Bernoulli. A equação geral é:
d yd x + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso, , (pois ) e .

Passo 3

Como a equação é de Bernoulli com z = y^1 - 2 = y^-1 e , vamos usar a substituição . Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar d zd x = dd x (y^-1) = -y^-2 d yd x em relação a d zd x = -y^-2 (-4x y + 4y^2) = 4x y^-1 - 4 :
Da equação original, temos . Substituindo na derivada de :

Passo 5

Lembre-se que d zd x = 4x z - 4 , então . Substituindo na equação acima:
Essa é uma equação diferencial linear em .

Passo 6

Vamos rearranjar a equação:
d zd x - 4x z = -4
Agora, identificamos que mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -4x dx = e^-2x^2 e . Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^-2x^2 d zd x - 4x e^-2x^2 z = -4 e^-2x^2
O lado esquerdo agora é a derivada de dd x (z e^-2x^2) = -4 e^-2x^2 :

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a z e^-2x^2 = integral -4 e^-2x^2 dx + C :
z e^-2x^2 = -4 cdot raizpi2 raiz2 erf(raiz2x) + C
A integral z = -2 raizpi2 erf(raiz2x) e^2x^2 + C e^2x^2 não tem solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la usando a função erro ( ):
Simplificando:

Passo 9

Lembrando que y = 1-2 raizpi2 erf(raiz2x) e^2x^2 + C e^2x^2 , então:
y(x) = 1e^2x^2 ( C - 2 raizpi2 erf(raiz2x) )
Podemos simplificar a constante:

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
y(x) = 1e^2x^2 ( C - 2 raizpi2 , erf(raiz2x) )
onde é a constante de integração e é a função erro.

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