Seja . Determine uma base e a dimensão dos subespaços

Passo 1

Beleza, vamos destrinchar esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de dois subespaços e de . Aqui, a matéria envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a determinação de bases e dimensões de subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se os vetores que definem cada subespaço são linearmente independentes e, assim, determinar a base e a dimensão desses subespaços.

Passo 2

Vamos começar com o subespaço , que é gerado pelos vetores , e . Queremos ver se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu posto.

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são os vetores de :
Agora, vamos realizar operações elementares para trazer essa matriz à forma escalonada e determinar o posto.

Passo 4

Aplicando operações de linha:
  1. Deixamos o primeiro elemento como 1.
  2. Zeramos os elementos abaixo do 1 na primeira coluna.
Após as operações, a matriz fica:

Passo 5

Continuando, vamos focar na segunda coluna. Dividimos a segunda linha por -7 para obter um 1:
Agora, usamos essa linha para zerar os elementos acima e abaixo dela na segunda coluna.

Passo 6

Após as operações, a matriz fica:
Agora, vamos para a terceira coluna.

Passo 7

A terceira linha, terceira coluna é , que não é zero, então temos três pivôs. Isso significa que os três vetores são linearmente independentes.

Passo 8

Como os três vetores de são linearmente independentes, eles formam uma base para . Portanto, a dimensão de é 3.

Passo 9

Agora, vamos fazer o mesmo para o subespaço , que é gerado pelos vetores , e . Montamos a matriz com esses vetores e verificamos a independência linear.

Passo 10

Montamos a matriz :
Vamos aplicar operações para encontrar o posto dessa matriz.

Passo 11

Aplicando operações de linha:
  1. Mantemos a primeira linha.
  2. Zeramos os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Após as operações, a matriz fica:

Passo 12

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do segundo pivô (elemento na segunda linha, segunda coluna):

Passo 13

A matriz está em forma escalonada e temos dois pivôs, o que indica que os três vetores são linearmente dependentes. Portanto, apenas dois deles são suficientes para formar uma base.

Passo 14

Podemos escolher e como base para . Assim, a dimensão de é 2.

Resposta

A base de é formada pelos vetores , e , com dimensão igual a 3. Já a base de é formada pelos vetores e , com dimensão igual a 2.

Exercícios relacionados

Resolva a equação de Riccati .
Encontre a solução da equação de Bernoulli .
Classifique as quádricas (completando quadrados ou fazendo rotações de eixos)
i)
ii)
iii)
iv) . Analise a dependência em relação a variável .