Seja . Determine uma base e a dimensão dos subespaços
Passo 1
Beleza, vamos destrinchar esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de dois subespaços e de . Aqui, a matéria envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a determinação de bases e dimensões de subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se os vetores que definem cada subespaço são linearmente independentes e, assim, determinar a base e a dimensão desses subespaços.
Passo 2
Vamos começar com o subespaço , que é gerado pelos vetores , e . Queremos ver se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu posto.
Passo 3
Montamos a matriz cujas colunas são os vetores de :
Agora, vamos realizar operações elementares para trazer essa matriz à forma escalonada e determinar o posto.
Passo 4
Aplicando operações de linha:
Deixamos o primeiro elemento como 1.
Zeramos os elementos abaixo do 1 na primeira coluna.
Após as operações, a matriz fica:
Passo 5
Continuando, vamos focar na segunda coluna. Dividimos a segunda linha por -7 para obter um 1:
Agora, usamos essa linha para zerar os elementos acima e abaixo dela na segunda coluna.
Passo 6
Após as operações, a matriz fica:
Agora, vamos para a terceira coluna.
Passo 7
A terceira linha, terceira coluna é , que não é zero, então temos três pivôs. Isso significa que os três vetores são linearmente independentes.
Passo 8
Como os três vetores de são linearmente independentes, eles formam uma base para . Portanto, a dimensão de é 3.
Passo 9
Agora, vamos fazer o mesmo para o subespaço , que é gerado pelos vetores , e . Montamos a matriz com esses vetores e verificamos a independência linear.
Passo 10
Montamos a matriz :
Vamos aplicar operações para encontrar o posto dessa matriz.
Passo 11
Aplicando operações de linha:
Mantemos a primeira linha.
Zeramos os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Após as operações, a matriz fica:
Passo 12
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do segundo pivô (elemento na segunda linha, segunda coluna):
Passo 13
A matriz está em forma escalonada e temos dois pivôs, o que indica que os três vetores são linearmente dependentes. Portanto, apenas dois deles são suficientes para formar uma base.
Passo 14
Podemos escolher e como base para . Assim, a dimensão de é 2.
Resposta
A base de é formada pelos vetores , e , com dimensão igual a 3. Já a base de é formada pelos vetores e , com dimensão igual a 2.