Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma transformação que pega matrizes e transforma em vetores no . Precisamos encontrar uma base e a dimensão para o núcleo (onde manda tudo para o zero) e para a imagem (todos os vetores que consegue produzir). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a transformação funciona. Dados os elementos da matriz , os transforma no vetor:
Vamos representar isso de forma matricial para facilitar:
Passo 3
Para encontrar o núcleo de , precisamos resolver a equação . Isso significa que:
Vamos montar a matriz aumentada e resolver o sistema:
Passo 4
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema. Primeiro, deixamos o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está). Agora, eliminamos os das outras linhas:
Linha 2 + 2 * Linha 1:
Linha 3 - 3 * Linha 1:
Passo 5
Agora, eliminamos o da terceira linha usando a segunda linha:
Linha 3 + 2 * Linha 2:
Isso nos mostra que temos duas equações independentes e duas variáveis livres.
Passo 6
Vamos expressar as variáveis em termos das livres. Seja e .
Das equações:
Resolvendo a segunda equação para :
Substituindo na primeira equação:
Passo 7
Agora, expressamos todas as variáveis em termos de e :
Podemos escrever a solução do núcleo como combinações lineares de e :
Passo 8
Então, a base para o núcleo de é composta pelos vetores:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, ou seja, 2.
Passo 9
Agora, para encontrar a imagem de , vamos observar as colunas da matriz que representa :
Vamos encontrar as combinações lineares dessas colunas que formam a imagem.
Passo 10
Para isso, verificamos a linearidade das colunas. Vemos que a terceira coluna pode ser expressa como uma combinação das primeiras duas:
Similarmente, a quarta coluna também é combinação das primeiras duas:
Portanto, as colunas 1 e 2 são suficientes para gerar toda a imagem.
Passo 11
Assim, a base para a imagem de é formada pelas primeiras duas colunas da matriz:
A dimensão da imagem é o número de vetores na base, ou seja, 2.