Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
T: M2 R^3 tal que T([lla & b c & d])=(a-2 b-3 c+5 d,-2 a+5 b+c-4 d, 3 a-8 b+c+3 d).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma transformação que pega matrizes e transforma em vetores no . Precisamos encontrar uma base e a dimensão para o núcleo (onde manda tudo para o zero) e para a imagem (todos os vetores que consegue produzir). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a transformação lla & b c & d funciona. Dados os elementos da matriz T([lla & b c & d]) = (a - 2b - 3c + 5d, -2a + 5b + c - 4d, 3a - 8b + c + 3d) , T([lla & b c & d]) = 1 & -2 & -3 & 5 -2 & 5 & 1 & -4 3 & -8 & 1 & 3 a b c d os transforma no vetor:
Vamos representar isso de forma matricial para facilitar:

Passo 3

Para encontrar o núcleo de a - 2b - 3c + 5d = 0 -2a + 5b + c - 4d = 0 3a - 8b + c + 3d = 0 , precisamos resolver a equação 1 & -2 & -3 & 5 & | & 0 -2 & 5 & 1 & -4 & | & 0 3 & -8 & 1 & 3 & | & 0 . Isso significa que:
Vamos montar a matriz aumentada e resolver o sistema:

Passo 4

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema. Primeiro, deixamos o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está). Agora, eliminamos os -2 + 2(1) = 0, 5 + 2(-2) = 1, 1 + 2(-3) = -5, -4 + 2(5) = 6 das outras linhas:
  1. Linha 2 + 2 * Linha 1:
Rightarrow 1 & -2 & -3 & 5 & | & 0 0 & 1 & -5 & 6 & | & 0 3 & -8 & 1 & 3 & | & 0
3 - 3(1) = 0, -8 - 3(-2) = -2, 1 - 3(-3) = 10, 3 - 3(5) = -12
  1. Linha 3 - 3 * Linha 1:
Rightarrow 1 & -2 & -3 & 5 & | & 0 0 & 1 & -5 & 6 & | & 0 0 & -2 & 10 & -12 & | & 0

Passo 5

Agora, eliminamos o -2 + 2(1) = 0, 10 + 2(-5) = 0, -12 + 2(6) = 0 da terceira linha usando a segunda linha:
Linha 3 + 2 * Linha 2:
Rightarrow 1 & -2 & -3 & 5 & | & 0 0 & 1 & -5 & 6 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
Isso nos mostra que temos duas equações independentes e duas variáveis livres.

Passo 6

Vamos expressar as variáveis em termos das livres. Seja b = 5c - 6d = 5s - 6t e a - 2(5s - 6t) - 3s + 5t = 0 a - 10s + 12t - 3s + 5t = 0 a = 13s - 17t .
Das equações:
Resolvendo a segunda equação para :
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de a = 13s - 17t b = 5s - 6t c = s d = t e a b c d = s 13 5 1 0 + t -17 -6 0 1 :
Podemos escrever a solução do núcleo como combinações lineares de e :

Passo 8

Então, a base para o núcleo de 13 5 1 0 , -17 -6 0 1 é composta pelos vetores:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, ou seja, 2.

Passo 9

Agora, para encontrar a imagem de 1 & -2 & -3 & 5 -2 & 5 & 1 & -4 3 & -8 & 1 & 3 , vamos observar as colunas da matriz que representa :
Vamos encontrar as combinações lineares dessas colunas que formam a imagem.

Passo 10

Para isso, verificamos a linearidade das colunas. Vemos que a terceira coluna pode ser expressa como uma combinação das primeiras duas:
-3 cdot Coluna 1 + (-3) cdot Coluna 2 = Coluna 3
Similarmente, a quarta coluna também é combinação das primeiras duas:
5 cdot Coluna 1 + 5 cdot Coluna 2 = Coluna 4
Portanto, as colunas 1 e 2 são suficientes para gerar toda a imagem.

Passo 11

Assim, a base para a imagem de 1 -2 3 , -2 5 -8 é formada pelas primeiras duas colunas da matriz:
A dimensão da imagem é o número de vetores na base, ou seja, 2.

Resposta

  • Núcleo de 13 5 1 0 :
    • Base: -17 -6 0 1
    • Dimensão: 2
  • Imagem de 1 -2 3 :
    • Base: -2 5 -8
    • Dimensão: 2

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