Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação. tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma transformação que pega matrizes e transforma em vetores no . Precisamos encontrar uma base e a dimensão para o núcleo (onde manda tudo para o zero) e para a imagem (todos os vetores que consegue produzir). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a transformação funciona. Dados os elementos da matriz , os transforma no vetor:
Vamos representar isso de forma matricial para facilitar:
Passo 3
Para encontrar o núcleo de a - 2b - 3c + 5d = 0 -2a + 5b + c - 4d = 0 3a - 8b + c + 3d = 0 , precisamos resolver a equação 1 & -2 & -3 & 5 & | & 0 -2 & 5 & 1 & -4 & | & 0 3 & -8 & 1 & 3 & | & 0 . Isso significa que:
Vamos montar a matriz aumentada e resolver o sistema:
Passo 4
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema. Primeiro, deixamos o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está). Agora, eliminamos os -2 + 2(1) = 0, 5 + 2(-2) = 1, 1 + 2(-3) = -5, -4 + 2(5) = 6 das outras linhas: