Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a transformação , definida por , onde é um número real, é uma transformação linear. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e os critérios que ela precisa cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e no espaço de partida e para qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear do espaço.

Passo 3

Agora, vamos analisar a transformação . Para verificar se é linear, precisamos ver se ela satisfaz as duas condições acima.
Primeiro, observamos que o segundo componente da imagem de é uma constante , que não depende dos vetores . Isso já é um sinal de que algo não está indo bem com a homogeneidade, já que uma transformação linear não pode adicionar constantes independentes dos vetores.
Vamos testar a homogeneidade especificamente. Se tomarmos um vetor e um escalar , temos:
Por outro lado,
Para que a homogeneidade seja satisfeita, precisamos que para todo escalar . Isso só é possível se .

Resposta

A transformação é linear somente se . Caso contrário, ela não é linear.

Exercícios relacionados

Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde é fixada.
Sejam e
© A partir da base acima, obtenha uma base ortonormal, e determine as matrizes (Sugestão: não precisa, mas você pode observar que e que é uma matriz ortogonal).
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
tal que .