Verifique se as transformações abaixo são lineares:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a transformação
, definida por
, onde
é um número real, é uma transformação linear. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e os critérios que ela precisa cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
no espaço de partida e para qualquer escalar
, as seguintes duas condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear do espaço.
Passo 3
Agora, vamos analisar a transformação
. Para verificar se
é linear, precisamos ver se ela satisfaz as duas condições acima.
Primeiro, observamos que o segundo componente da imagem de
é uma constante
, que não depende dos vetores
. Isso já é um sinal de que algo não está indo bem com a homogeneidade, já que uma transformação linear não pode adicionar constantes independentes dos vetores.
Vamos testar a homogeneidade especificamente. Se tomarmos um vetor
e um escalar
, temos:
Por outro lado,
Para que a homogeneidade seja satisfeita, precisamos que
para todo escalar
. Isso só é possível se
.
Resposta
A transformação
é linear somente se
. Caso contrário, ela não é linear.