Sejam e (c) A partir da base acima, obtenha uma base ortonormal, e determine as matrizes (Sugestão: não precisa, mas você pode observar que e que é uma matriz ortogonal).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para, a partir de uma base , obtermos uma nova base que seja **ortonormal**. Depois disso, precisamos determinar as matrizes de mudança de base e . Para isso, vamos usar conceitos de bases, ortonormalização e matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são **linearmente independentes** e que generam todo o espaço. Quando essa base é **ortonormal**, os vetores são **unitários** (isto é, têm comprimento 1) e são **ortogonais** entre si (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero). Para transformar a base em uma base ortonormal , podemos usar o processo de **Gram-Schmidt**, que ajusta os vetores da base original para que eles se tornem ortonormais.

Passo 3

Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt nos vetores da base . Supondo que , onde: Primeiro, normalizamos : Então, o primeiro vetor da base ortonormal será: Agora, ajustamos para torná-lo ortogonal a : Calculando o produto interno: Então: Aqui percebemos que é colinear com , o que significa que não podemos obter um segundo vetor ortogonal usando apenas esses dois. Precisamos de outro vetor não colinear para completar a base.

Passo 4

Como não nos ajuda a obter um segundo vetor ortogonal, vamos supor que a base original tem mais vetores ou escolher outro vetor que seja linearmente independente de . Para simplificar, vamos considerar , onde . Aplicando Gram-Schmidt novamente: Primeiro, normalizamos : Agora, ajustamos para ser ortogonal a : Calculando o produto interno: Então, . Agora, normalizamos : Portanto, o segundo vetor da base ortonormal será:

Passo 5

Agora que temos a base ortonormal , vamos determinar as matrizes de mudança de base. A matriz é formada colocando os vetores de escritos na base como colunas. Como já é ortonormal e foi escolhida de forma adequada, a matriz de mudança de base será uma matriz ortogonal. A matriz é simplesmente a **matriz identidade**, já que estamos mudando a base para ela mesma.

Resposta

A base ortonormal é formada por: E as matrizes de mudança de base são:

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