Sejam u=(1,1,1)C e v=(1, ldots, 1)C
© A partir da base B acima, obtenha uma base D ortonormal, e determine as matrizes [M]B^D e [M]D^D (Sugestão: não precisa, mas você pode observar que [M]D^B=[M]D^C[M]C^B e que [M]C^D é uma matriz ortogonal).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para, a partir de uma base , obtermos uma nova base que seja ortonormal. Depois disso, precisamos determinar as matrizes de mudança de base e . Para isso, vamos usar conceitos de bases, ortonormalização e matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que generam todo o espaço. Quando essa base é ortonormal, os vetores são unitários (isto é, têm comprimento 1) e são ortogonais entre si (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero).
Para transformar a base em uma base ortonormal , podemos usar o processo de Gram-Schmidt, que ajusta os vetores da base original para que eles se tornem ortonormais.

Passo 3

Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt nos vetores da base u = (1,1,1)C, v = (1,1,1)C . Supondo que |u| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 , onde:
d1 = u|u| = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )
Primeiro, normalizamos v' = v - (v cdot d1) d1 :
v cdot d1 = 1 cdot 1raiz3 + 1 cdot 1raiz3 + 1 cdot 1raiz3 = 3raiz3 = raiz3
Então, o primeiro vetor da base ortonormal v' = (1,1,1) - raiz3 ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) = (1,1,1) - (1,1,1) = (0,0,0) será:
Agora, ajustamos para torná-lo ortogonal a :
Calculando o produto interno:
Então:
Aqui percebemos que é colinear com , o que significa que não podemos obter um segundo vetor ortogonal usando apenas esses dois. Precisamos de outro vetor não colinear para completar a base.

Passo 4

Como d1 = u|u| = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) não nos ajuda a obter um segundo vetor ortogonal, vamos supor que a base w' = w - (w cdot d1) d1 original tem mais vetores ou escolher outro vetor que seja linearmente independente de w cdot d1 = 1 cdot 1raiz3 + (-1) cdot 1raiz3 + 0 cdot 1raiz3 = 1 -1 + 0raiz3 = 0 . Para simplificar, vamos considerar |w'| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2 , onde d2 = w'|w'| = ( 1raiz2, -1raiz2, 0 ) .
Aplicando Gram-Schmidt novamente:
Primeiro, normalizamos :
Agora, ajustamos para ser ortogonal a :
Calculando o produto interno:
Então, . Agora, normalizamos :
Portanto, o segundo vetor da base ortonormal será:

Passo 5

Agora que temos a base ortonormal [M]D^D = I = 1 & 0 0 & 1 , vamos determinar as matrizes de mudança de base.
A matriz é formada colocando os vetores de escritos na base como colunas. Como já é ortonormal e foi escolhida de forma adequada, a matriz de mudança de base será uma matriz ortogonal.
A matriz é simplesmente a matriz identidade, já que estamos mudando a base para ela mesma.

Resposta

A base ortonormal D = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ), ( 1raiz2, -1raiz2, 0 ) é formada por:
[M]B^D = Matriz Ortogonal
E as matrizes de mudança de base são:
[M]D^D = I = 1 & 0 0 & 1

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