Sejam e
(c) A partir da base acima, obtenha uma base ortonormal, e determine as matrizes (Sugestão: não precisa, mas você pode observar que e que é uma matriz ortogonal).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para, a partir de uma base , obtermos uma nova base que seja **ortonormal**. Depois disso, precisamos determinar as matrizes de mudança de base e . Para isso, vamos usar conceitos de bases, ortonormalização e matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são **linearmente independentes** e que generam todo o espaço. Quando essa base é **ortonormal**, os vetores são **unitários** (isto é, têm comprimento 1) e são **ortogonais** entre si (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero).
Para transformar a base em uma base ortonormal , podemos usar o processo de **Gram-Schmidt**, que ajusta os vetores da base original para que eles se tornem ortonormais.
Passo 3
Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt nos vetores da base . Supondo que , onde:
Primeiro, normalizamos :
Então, o primeiro vetor da base ortonormal será:
Agora, ajustamos para torná-lo ortogonal a :
Calculando o produto interno:
Então:
Aqui percebemos que é colinear com , o que significa que não podemos obter um segundo vetor ortogonal usando apenas esses dois. Precisamos de outro vetor não colinear para completar a base.
Passo 4
Como não nos ajuda a obter um segundo vetor ortogonal, vamos supor que a base original tem mais vetores ou escolher outro vetor que seja linearmente independente de . Para simplificar, vamos considerar , onde .
Aplicando Gram-Schmidt novamente:
Primeiro, normalizamos :
Agora, ajustamos para ser ortogonal a :
Calculando o produto interno:
Então, . Agora, normalizamos :
Portanto, o segundo vetor da base ortonormal será:
Passo 5
Agora que temos a base ortonormal , vamos determinar as matrizes de mudança de base.
A matriz é formada colocando os vetores de escritos na base como colunas. Como já é ortonormal e foi escolhida de forma adequada, a matriz de mudança de base será uma matriz ortogonal.
A matriz é simplesmente a **matriz identidade**, já que estamos mudando a base para ela mesma.
Resposta
A base ortonormal é formada por:
E as matrizes de mudança de base são:
Exercícios relacionados
Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde .
Para cada transformação linear dada abaixo, encontre uma base e a dimensão para:
(i) o núcleo da transformação.
(ii) o conjunto imagem da transformação.
dada por .
Seja um funcional linear. Sabendo que e , calcule .