Sejam
e
© A partir da base
acima, obtenha uma base
ortonormal, e determine as matrizes
(Sugestão: não precisa, mas você pode observar que
e que
é uma matriz ortogonal).
© A partir da base
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para, a partir de uma base
, obtermos uma nova base
que seja ortonormal. Depois disso, precisamos determinar as matrizes de mudança de base
e
. Para isso, vamos usar conceitos de bases, ortonormalização e matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que generam todo o espaço. Quando essa base é ortonormal, os vetores são unitários (isto é, têm comprimento 1) e são ortogonais entre si (o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero).
Para transformar a base
em uma base ortonormal
, podemos usar o processo de Gram-Schmidt, que ajusta os vetores da base original para que eles se tornem ortonormais.
Passo 3
Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt nos vetores da base
. Supondo que
, onde:
Primeiro, normalizamos
:
Então, o primeiro vetor da base ortonormal
será:
Agora, ajustamos
para torná-lo ortogonal a
:
Calculando o produto interno:
Então:
Aqui percebemos que
é colinear com
, o que significa que não podemos obter um segundo vetor ortogonal usando apenas esses dois. Precisamos de outro vetor não colinear para completar a base.
Passo 4
Como
não nos ajuda a obter um segundo vetor ortogonal, vamos supor que a base
original tem mais vetores ou escolher outro vetor que seja linearmente independente de
. Para simplificar, vamos considerar
, onde
.
Aplicando Gram-Schmidt novamente:
Primeiro, normalizamos
:
Agora, ajustamos
para ser ortogonal a
:
Calculando o produto interno:
Então,
. Agora, normalizamos
:
Portanto, o segundo vetor da base ortonormal
será:
Passo 5
Agora que temos a base ortonormal
, vamos determinar as matrizes de mudança de base.
A matriz
é formada colocando os vetores de
escritos na base
como colunas. Como
já é ortonormal e
foi escolhida de forma adequada, a matriz de mudança de base será uma matriz ortogonal.
A matriz
é simplesmente a matriz identidade, já que estamos mudando a base para ela mesma.
Resposta
A base ortonormal
é formada por:
E as matrizes de mudança de base são: