Seja f: R^2 R um funcional linear. Sabendo que f(1,1)=3 e f(2,3)=1, calcule f(1,0)+f(0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um funcional linear e quer descobrir o valor de . Pra resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre funcionais lineares e como representá-los com equações.

Passo 2

Primeiro, lembremos que um funcional linear em duas variáveis pode ser representado por uma fórmula do tipo:
f(x, y) = a cdot x + b cdot y
Aqui, e são constantes que vamos descobrir usando as informações que você deu: e .

Passo 3

Vamos usar as informações para montar um sistema de equações. Substituindo os valores de a cdot 1 + b cdot 1 = 3 Rightarrow a + b = 3 nas fórmulas:
  1. Para a cdot 2 + b cdot 3 = 1 Rightarrow 2a + 3b = 1 :
a + b = 3 2a + 3b = 1
  1. Para :
Agora temos o sistema:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar a = 3 - b e 2(3 - b) + 3b = 1 6 - 2b + 3b = 1 6 + b = 1 b = 1 - 6 b = -5 . Primeiro, da primeira equação:
a = 3 - (-5) a = 3 + 5 a = 8
Substituindo esse valor de na segunda equação:
Agora que temos , substituímos de volta na primeira equação para encontrar :

Passo 5

Agora que sabemos que f(x, y) = 8x - 5y e f(1,0) = 8 cdot 1 - 5 cdot 0 = 8 f(0,1) = 8 cdot 0 - 5 cdot 1 = -5 f(1,0) + f(0,1) = 8 + (-5) = 3 , podemos escrever a fórmula do funcional:
Então, vamos calcular :

Resposta

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