Para cada uma das transformações lineares dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem. definido por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear definida por .
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como núcleo (ou kernel), imagem (ou imagem) e bases. Vamos descomplicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a definição da transformação linear em uma matriz. Cada transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, dá o resultado desejado.
A transformação dada é:
Podemos escrever isso como uma matriz A = 1 & 2 & -3 2 & 5 & -4 1 & 4 & 1 multiplicada pelo vetor :
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de x y z , que é o conjunto de todos os vetores 0 0 0 que são mapeados para o vetor zero. Em termos de matrizes, isso significa resolver a equação x + 2y - 3z = 0 2x + 5y - 4z = 0 x + 4y + z = 0 .
Isso nos leva ao sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Primeiro, montamos a matriz aumentada:
Vamos resolver essas equações. Da segunda equação, temos:
y = -2z
Substituindo x + 2(-2z) - 3z = 0 Rightarrow x - 4z - 3z = 0 Rightarrow x = 7z na primeira equação:
x = 7z, y = -2z, z é livre
Então, as soluções são:
x y z = z 7 -2 1 é
Podemos representar o núcleo como:
Passo 6
Com isso, vimos que o núcleo é gerado pelo vetor 7 -2 1 . Portanto, uma base para o núcleo de 7 -2 1 é:
E a dimensão do núcleo, que é o número de vetores na base, é 1.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & 2 & -3 2 & 5 & -4 1 & 4 & 1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela transformação . Em termos de matrizes, é o espaço gerado pelas colunas da matriz .
A matriz é:
Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes.
Passo 8
Para determinar a independência linear das colunas, podemos montar a matriz com as colunas de e fazer a redução de posto. Já fizemos isso anteriormente quando encontramos o núcleo. Vimos que a matriz tem posto 2, porque temos duas pivôs na forma escalonada.
Isso significa que as duas primeiras colunas são suficientes para gerar a imagem.
Passo 9
Então, uma base para a imagem de 1 2 1 , 2 5 4 é formada pelas duas primeiras colunas de :
E a dimensão da imagem, que é o número de vetores na base, é 2.
Resposta
Uma base para o núcleo de 7 -2 1 é 1 2 1 com dimensão 1. Uma base para a imagem de 2 5 4 é com dimensão 2.