Rusalve we nirte ma pulo mútudo va Geauss-fordan
l x-y+z=1 x+y-w=-1 2 y+w=0 2 x y+4 z=0 A=[cccc 1 & -1 & 3 & 0 1 & 1 & 0 & -1 0 & 2 & 0 & 1 2 & 1 & 4 & 0 ] B=[c 1 -1 0 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. Temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas (x, y, z, w). Vamos usar o método de Gauss-Jordan, que serve para resolver sistemas lineares transformando a matriz aumentada do sistema em uma forma mais fácil de resolver. Para isso, vamos precisar manipular a matriz para conseguir zeros abaixo e acima dos pivôs (os números principais na diagonal).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema, juntando a matriz dos coeficientes [cccc|c 1 & -1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & -1 & -1 0 & 2 & 0 & 1 & 0 2 & 1 & 4 & 0 & 0 ] com a matriz dos termos constantes :

Passo 3

O próximo passo é criar um pivô na primeira coluna. Já temos um 1 na posição (1,1), então vamos usar essa linha para eliminar os outros valores na primeira coluna.
  • Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - R1 Rightarrow [1-1, 1-(-1), 0-1, -1-0, -1-1] = [0, 2, -1, -1, -2]
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 2R1 Rightarrow [2-2(1), 1-2(-1), 4-2(1), 0-2(0), 0-2(1)] = [0, 3, 2, 0, -2]
A matriz fica assim:
[cccc|c 1 & -1 & 1 & 0 & 1 0 & 2 & -1 & -1 & -2 0 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 2 & 0 & -2 ]

Passo 4

Agora, vamos fazer um pivô na segunda coluna. Primeiro, vamos garantir que o elemento (2,2) seja 1 dividindo a segunda linha por 2:
R2 = 12R2 Rightarrow [0, 1, -12, -12, -1]
A matriz fica:
[cccc|c 1 & -1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & -12 & -12 & -1 0 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 2 & 0 & -2 ]

Passo 5

Vamos usar o pivô da segunda linha para eliminar os valores abaixo e acima dele na segunda coluna.
  • Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 2R2 Rightarrow [0, 2-2(1), 0 - 2(-12), 1 - 2(-12), 0 - 2(-1)] = [0, 0, 1, 2, 2]
  • Subtraímos 3 vezes a segunda linha da quarta linha:
R4 = R4 - 3R2 Rightarrow [0, 3-3(1), 2 - 3(-12), 0 - 3(-12), -2 - 3(-1)] = [0, 0, 72, 32, 1]
  • Adicionamos a segunda linha à primeira linha:
R1 = R1 + R2 Rightarrow [1+0, -1+1, 1 - 12, 0 - 12, 1 -1] = [1, 0, 12, -12, 0]
A matriz agora é:
[cccc|c 1 & 0 & 12 & -12 & 0 0 & 1 & -12 & -12 & -1 0 & 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 72 & 32 & 1 ]

Passo 6

Continuando, vamos fazer um pivô na terceira coluna. Já temos um 1 na posição (3,3), então usamos essa linha para eliminar os outros valores na terceira coluna.
  • Subtraímos R4 = R4 - 72R3 Rightarrow [0, 0, 72 - 72(1), 32 - 72(2), 1 - 72(2)] = [0, 0, 0, -112, -6] vezes a terceira linha da quarta linha:
R1 = R1 - 12R3 Rightarrow [1, 0, 12 - 12(1), -12 - 12(2), 0 - 12(2)] = [1, 0, 0, -32, -1]
  • Subtraímos R2 = R2 + 12R3 Rightarrow [0, 1, -12 + 12(1), -12 + 12(2), -1 + 12(2)] = [0, 1, 0, 12, 0] vezes a terceira linha da primeira linha:
[cccc|c 1 & 0 & 0 & -32 & -1 0 & 1 & 0 & 12 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & -112 & -6 ]
  • Adicionamos vezes a terceira linha à segunda linha:
A matriz fica:

Passo 7

Finalmente, vamos fazer um pivô na quarta coluna. Para isso, tornamos o elemento (4,4) igual a 1 dividindo a quarta linha por R4 = -211R4 Rightarrow [0, 0, 0, 1, 1211] :
R1 = R1 + 32R4 Rightarrow [1, 0, 0, -32 + 32(1), -1 + 32(1211)] = [1, 0, 0, 0, -1 + 1811] = [1, 0, 0, 0, 711]
Agora, usaremos esse pivô para eliminar os outros valores na quarta coluna.
  • Adicionamos R2 = R2 - 12R4 Rightarrow [0, 1, 0, 12 - 12(1), 0 - 12(1211)] = [0, 1, 0, 0, -611] vezes a quarta linha à primeira linha:
R3 = R3 - 2R4 Rightarrow [0, 0, 1, 2 - 2(1), 2 - 2(1211)] = [0, 0, 1, 0, 2 - 2411] = [0, 0, 1, 0, -211]
  • Subtraímos [cccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & 711 0 & 1 & 0 & 0 & -611 0 & 0 & 1 & 0 & -211 0 & 0 & 0 & 1 & 1211 ] vez a quarta linha da segunda linha:
  • Subtraímos 2 vezes a quarta linha da terceira linha:
A matriz finalizada é:

Resposta

Resolvendo o sistema pelo método de Gauss-Jordan, encontramos:
x = 711, y = -611, z = -211, w = 1211

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