Quais dos seguintes vetores
a) (0,2,2,2);
b) (1,4,5,2);
c) (0,0,0,0)
d) (0,3,1,5)
são combinações lineares de u=(0,0,2,-2) e v=(0,1,3,-1).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos quatro vetores e queremos saber quais deles podem ser escritos como combinações lineares dos vetores e . Isso envolve entender o conceito de combinação linear na Álgebra Linear e resolver alguns sistemas de equações.

Passo 2

Para verificar se um vetor x cdot u + y cdot v = w é uma combinação linear de 0x + 0y = w1 0x + 1y = w2 2x + 3y = w3 -2x - 1y = w4 e , precisamos encontrar números e tais que:
Isso se traduz em um sistema de equações:

Passo 3

Vamos começar com o vetor a) 0x + 0y = 0 0x + 1y = 2 2x + 3y = 2 -2x - 1y = 2 .
2x + 3(2) = 2 2x + 6 = 2 2x = -4 x = -2
Da segunda equação, já sabemos que -2(-2) - 1(2) = 4 - 2 = 2 .
Substituindo na terceira equação:
Agora, verificamos a quarta equação com e :
Tudo deu certo! Portanto, o vetor é uma combinação linear de e .

Passo 4

Agora, vamos para o vetor b) 0x + 0y = 1 0x + 1y = 4 2x + 3y = 5 -2x - 1y = 2 .
A primeira equação diz que , o que é impossível. Isso significa que não existe nenhuma combinação linear de e que resulte no vetor .

Passo 5

Vamos para o vetor c) 0 cdot u + 0 cdot v = (0, 0, 0, 0) , que é o vetor nulo.
Qualquer combinação linear que multiplique e por zero também resultará no vetor nulo:
Portanto, o vetor nulo sempre é uma combinação linear de qualquer conjunto de vetores.

Passo 6

Finalmente, analisamos o vetor d) 0x + 0y = 0 0x + 1y = 3 2x + 3y = 1 -2x - 1y = 5 .
2x + 3(3) = 1 2x + 9 = 1 2x = -8 x = -4
Da segunda equação, -2(-4) - 1(3) = 8 - 3 = 5 .
Substituindo na terceira equação:
Agora, verificamos a quarta equação com e :
Tudo confere! Portanto, o vetor também é uma combinação linear de e .

Resposta

Os vetores a) (0, 2, 2, 2), c) (0, 0, 0, 0) e d) (0, 3, 1, 5) são combinações lineares de e . O vetor b) (1, 4, 5, 2) não é uma combinação linear de e .

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