Determine a transformação linear
cuja matriz em relação à base
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma transformação linear
cuja matriz, em relação à base
, é dada por
Isso envolve conceitos de transformação linear, mudança de base e matrizes associadas a essas transformações. Para resolver, vamos precisar entender como converter a matriz dada na base
para a matriz padrão, e então definir a transformação
com base nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. A matriz dada está relativa à base
, mas queremos encontrar a transformação na base padrão.
Para isso, precisamos da matriz de mudança de base
, que transforma coordenadas da base
para a base padrão. A base
é formada pelos vetores
e
.
Então, a matriz
é formada colocando os vetores de
como colunas:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a matriz inversa de
, que vamos chamar de
. A matriz inversa é essencial para mudar de base adequadamente.
Vamos calcular
:
Primeiro, calculamos o determinante de
:
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz
é invertível. A inversa de uma matriz 2x2 é dada por:
Aplicando isso a
:
Passo 4
Agora, temos a matriz da transformação na base
:
Para encontrar a matriz da transformação na base padrão, usamos a fórmula:
Vamos multiplicar as matrizes passo a passo.
Passo 5
Primeiro, multiplicamos
por
:
Passo 6
Agora, multiplicamos o resultado pela matriz inversa
:
Resposta
A transformação linear
é dada pela matriz padrão
Isso significa que, para qualquer vetor
em
, a transformação
atua da seguinte forma:
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes vetores
a) ;
b) ;
c)
d)
são combinações lineares de e
.
a)
b)
c)
d)
são combinações lineares de
Sejam
e
subespaços do
. Determine todos os valores de
para os quais
.
Para cada uma das transformações lineares
dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
definido por
Rusalve we nirte ma pulo mútudo va Geauss-fordan