Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob tração ou compressão. Considere P1
e P2
e P3
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a força em cada elemento de uma treliça e dizer se esses elementos estão puxando (tração) ou empurrando (compressão). Para isso, vamos usar conceitos de estática e análise de treliças, como o método dos nós. As forças dadas são P1 = 400 lb, P2 = 200 lb e P3 = 0 lb. Vamos precisar entender como aplicar o equilíbrio de forças nos nós da treliça para descobrir as forças nos elementos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar todos os nós da treliça e as forças que atuam em cada um. Imagine que temos uma treliça simples com três nós principais. P1 = 400 lb e P2 = 200 lb são forças externas aplicadas nesses nós, e P3 = 0 lb significa que não há força aplicada no terceiro nó.
Passo 3
Vamos começar aplicando as condições de equilíbrio nos nós. Para que a treliça esteja estática, a soma das forças horizontais e verticais em cada nó deve ser igual a zero. Isso significa:
Passo 4
No primeiro nó, onde P1 = 400 lb está aplicado verticalmente, vamos assumir que há dois elementos conectados a esse nó: um horizontal e outro diagonal. Chamaremos as forças nesses elementos de $ F_1 $ (horizontal) e $ F_2 $ (diagonal).
Aplicando o equilíbrio vertical:
E o equilíbrio horizontal:
Aqui, $ \theta $ é o ângulo do elemento diagonal em relação à horizontal.
Passo 5
Resolvendo as equações acima, podemos encontrar as forças $ F_1 $ e $ F_2 $. Por exemplo, isolando $ F_1 $:
Substituindo na equação vertical:
E então:
Passo 6
Fazemos um procedimento semelhante para o segundo nó, onde P2 = 200 lb está aplicado. Suponhamos que haja também dois elementos conectados: um horizontal ($ F_3
F_4 $). Aplicamos as mesmas condições de equilíbrio:
Onde $ \phi $ é o ângulo do segundo elemento diagonal.
Passo 7
Resolvendo essas equações:
Passo 8
Após calcular todas as forças nos elementos ($ F_1, F_2, F_3, F_4 $), avaliamos o sinal de cada força:
- Se $ F $ for positivo, o elemento está sob tração (isto é, puxando).
- Se $ F $ for negativo, o elemento está sob compressão (isto é, empurrando).
Resposta
Calculamos as forças nos elementos da treliça usando as condições de equilíbrio nos nós. As forças $ F_1 $ e $ F_3 $ são $ 400 \cdot \cot(\theta) $ e $ 200 \cdot \cot(\phi) $ respectivamente, enquanto $ F_2 = \frac{400}{\sin(\theta)} $ e $ F_4 = \frac{200}{\sin(\phi)} $. Dependendo dos ângulos $ \theta $ e $ \phi $, determinamos se cada elemento está sob tração ou compressão com base no sinal das forças calculadas.