Para cada vetor v de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar alpha in R tal que o vetor w definido por w=alpha v tenha a norma pedida. v=(0,3) e |w|=1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos um vetor v = (0, 3) e queremos encontrar um número real alpha tal que o vetor w = alpha v tenha norma igual a 1. Vamos usar conceitos de vetores e norma de vetor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor w em termos de alpha. Multiplicando cada componente de v por alpha, fica:
w = alpha v = alpha (0, 3) = (0, 3alpha)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a norma de w. A norma de um vetor (x, y) é dada por:
|w| = raizx^2 + y^2
Aplicando isso ao nosso vetor w = (0, 3alpha):
|w| = raiz0^2 + (3alpha)^2 = raiz9alpha^2 = 3|alpha|

Passo 4

Queremos que a norma de w seja igual a 1. Então, temos:
3|alpha| = 1
Resolvendo para |alpha|:
|alpha| = 13
Isso significa que alpha pode ser:
alpha = 13 ou alpha = -13

Resposta

O valor de alpha é alpha = pm dfrac13.

Exercícios relacionados

Para cada vetor v de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar alpha in R tal que o vetor w definido por w=alpha v tenha a norma pedida. v=(-1,3) e |w|=2.
Seja v=(1,5) e w=(-1,2). Determine o vetor u tal que u+v=w.
Considere o vetor u=(2,5). Determine alpha tal que o vetor v=(alpha, 1) seja ortogonal ao vetor u.
Se u=(1,3), determine as coordenadas do vetor v que é ortogonal a u e possui módulo 2. (note que há duas possibilidades para o vetor v, isto é, a resposta são dois vetores).