Se u=(1,3), determine as coordenadas do vetor v que é ortogonal a u e possui módulo 2. (note que há duas possibilidades para o vetor v, isto é, a resposta são dois vetores).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas de um vetor que seja ortogonal ao vetor e que tenha módulo igual a 2. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores ortogonais e como calcular o módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é vetores ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2 e u cdot v = 0 é dado por:
Como queremos que e sejam ortogonais, temos:

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Sabemos que 1 times v1 + 3 times v2 = 0 e queremos encontrar v1 + 3v2 = 0 tal que:
v1 = -3v2
Isso simplifica para:
Podemos resolver essa equação para uma das componentes, por exemplo, :

Passo 4

Agora, precisamos garantir que o módulo de |v| = raizv1^2 + v2^2 seja igual a 2. O módulo de um vetor raizv1^2 + v2^2 = 2 é calculado por:
v1^2 + v2^2 = 4
Queremos que , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Substituindo (-3v2)^2 + v2^2 = 4 9v2^2 + v2^2 = 4 10v2^2 = 4 v2^2 = 410 v2^2 = 25 v2 = pm raiz25 v2 = pm raiz105 na equação do módulo:

Passo 6

Agora que temos os valores de v1 = -3 times ( pm raiz105 ) v1 = pm ( -3raiz105 ) v1 = mp 3raiz105 , podemos encontrar usando :
Ou seja, se , então , e vice-versa.

Resposta

Os vetores v = ( -3raiz105, raiz105 ) e v = ( 3raiz105, -raiz105 ) que são ortogonais a e têm módulo 2 são:

Exercícios relacionados

Considere o vetor u=(2,5). Determine alpha tal que o vetor v=(alpha, 1) seja ortogonal ao vetor u.
Para cada vetor v de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar alpha in R tal que o vetor w definido por w=alpha v tenha a norma pedida. v=(0,3) e |w|=1.
Determine as coordenadas do vetor v que é paralelo ao vetor u=(-1,3) e tem módulo 2.
Determine a equação paramétrica da reta: que é paralela ao vetor v=(-1,2) e passa pelo ponto C(3,2).