Se
, determine as coordenadas do vetor
que é ortogonal a
e possui módulo 2. (note que há duas possibilidades para o vetor
, isto é, a resposta são dois vetores).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas de um vetor
que seja ortogonal ao vetor
e que tenha módulo igual a 2. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores ortogonais e como calcular o módulo de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é vetores ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de
e
é dado por:
Como queremos que
e
sejam ortogonais, temos:
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso. Sabemos que
e queremos encontrar
tal que:
Isso simplifica para:
Podemos resolver essa equação para uma das componentes, por exemplo,
:
Passo 4
Agora, precisamos garantir que o módulo de
seja igual a 2. O módulo de um vetor
é calculado por:
Queremos que
, então:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Substituindo
na equação do módulo:
Passo 6
Agora que temos os valores de
, podemos encontrar
usando
:
Ou seja, se
, então
, e vice-versa.
Resposta
Os vetores
que são ortogonais a
e têm módulo 2 são:
Exercícios relacionados
Considere o vetor
. Determine
tal que o vetor
seja ortogonal ao vetor
.
Para cada vetor
de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar
tal que o vetor
definido por
tenha a norma pedida.
e
.
Determine as coordenadas do vetor
que é paralelo ao vetor
e tem módulo 2.
Determine a equação paramétrica da reta: que é paralela ao vetor
e passa pelo ponto
.