Para o café da manhã, você costuma tomar suco de laranja bem gelado. Para isso costuma colocar as laranjas no freezer da geladeira à temperatura de
. Considerando que em Ouro Branco a temperatura esteja a
, calcule:
b) Quanto tempo você deve deixar as laranjas no freezer para que atinjam uma temperatura de
no centro?
Considere as laranjas como esferas de 10 cm de diâmetro.
Dado:
c=
b) Quanto tempo você deve deixar as laranjas no freezer para que atinjam uma temperatura de
Considere as laranjas como esferas de 10 cm de diâmetro.
Dado:
c=
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você costuma colocar laranjas no freezer a
para deixar o suco bem gelado. A temperatura ambiente é de
e queremos saber quanto tempo leva para que o centro das laranjas, que são esferas de 10 cm de diâmetro, atinjam
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em esferas e algumas fórmulas da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a difusividade térmica (
) do material das laranjas. A difusividade térmica é dada por:
Onde:
-
é a condutividade térmica, -
é a densidade, -
é a capacidade calorífica.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o número de Biot (Bi) para verificar se podemos usar a hipótese de capacidade térmica concentrada (modelo simplificado). O número de Biot é dado por:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor, -
é o comprimento característico. Para uma esfera, .
Vamos calcular:
Como
, não podemos usar a hipótese de capacidade térmica concentrada e precisamos considerar a condução de calor transitória.
Passo 5
Para condução de calor em uma esfera com condição inicial e de contorno, a temperatura no centro da esfera ao longo do tempo pode ser aproximada pela primeira parcela da série de Fourier:
Onde:
-
é a temperatura no centro no tempo , -
é a temperatura do freezer, -
é a temperatura inicial, -
é a primeira raiz da equação de transcendência para uma esfera, aproximadamente .
Passo 6
Queremos que
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 7
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural:
Convertendo para horas:
Resposta
Você deve deixar as laranjas no freezer por aproximadamente 772,5 horas para que o centro atinja uma temperatura de
.