Para o café da manhã, você costuma tomar suco de laranja bem gelado. Para isso costuma colocar as laranjas no freezer da geladeira à temperatura de 5^circ C. Considerando que em Ouro Branco a temperatura esteja a 30^circ C, calcule:
b) Quanto tempo você deve deixar as laranjas no freezer para que atinjam uma temperatura de 10^circ C no centro?
Considere as laranjas como esferas de 10 cm de diâmetro.
Dado:
h=6 W / m^2 K
k=0,603 J / m s K
rho=997,6 kg / m^3
c= 4180 J / kg K

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você costuma colocar laranjas no freezer a 5^circ C para deixar o suco bem gelado. A temperatura ambiente é de 30^circ C e queremos saber quanto tempo leva para que o centro das laranjas, que são esferas de 10 cm de diâmetro, atinjam 10^circ C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em esferas e algumas fórmulas da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a difusividade térmica ( alpha) do material das laranjas. A difusividade térmica é dada por:
alpha = krho cdot c
Onde:
  • k = 0,603 , J/(m cdot s cdot K) é a condutividade térmica,
  • rho = 997,6 , kg/m^3 é a densidade,
  • c = 4180 , J/(kg cdot K) é a capacidade calorífica.

Passo 3

Vamos calcular alpha:
alpha = 0,603997,6 times 4180 approx 0,6034.168 times 10^6 approx 1,445 times 10^-7 , m^2/s

Passo 4

Agora, vamos calcular o número de Biot (Bi) para verificar se podemos usar a hipótese de capacidade térmica concentrada (modelo simplificado). O número de Biot é dado por:
Bi = h cdot Lck
Onde:
  • h = 6 , W/(m^2 cdot K) é o coeficiente de transferência de calor,
  • Lc é o comprimento característico. Para uma esfera, Lc = D2 = 0,05 , m.
Vamos calcular:
Bi = 6 times 0,050,603 approx 0,30,603 approx 0,497
Como Bi > 0,1, não podemos usar a hipótese de capacidade térmica concentrada e precisamos considerar a condução de calor transitória.

Passo 5

Para condução de calor em uma esfera com condição inicial e de contorno, a temperatura no centro da esfera ao longo do tempo pode ser aproximada pela primeira parcela da série de Fourier:
T(0,t) - TinftyTi - Tinfty = e^-lambda1^2 alpha t
Onde:
  • T(0,t) é a temperatura no centro no tempo t,
  • Tinfty = 5^circ C é a temperatura do freezer,
  • Ti = 30^circ C é a temperatura inicial,
  • lambda1 é a primeira raiz da equação de transcendência para uma esfera, aproximadamente lambda1 approx 2,4048.

Passo 6

Queremos que T(0,t) = 10^circ C. Substituindo na equação:
10 - 530 - 5 = e^- (2,4048)^2 times 1,445 times 10^-7 times t
Simplificando:
525 = e^- (5,78) times 10^-7 t
0,2 = e^-5,78 times 10^-7 t

Passo 7

Para resolver para t, aplicamos o logaritmo natural:
ln(0,2) = -5,78 times 10^-7 t
t = ln(0,2)-5,78 times 10^-7 approx -1,6094-5,78 times 10^-7 approx 2,781 times 10^6 , s
Convertendo para horas:
2,781 times 10^6 , s div 3600 approx 772,5 , h

Resposta

Você deve deixar as laranjas no freezer por aproximadamente 772,5 horas para que o centro atinja uma temperatura de 10^circ C.

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