Para o café da manhã, você costuma tomar suco de laranja bem gelado. Para isso costuma colocar as laranjas no freezer da geladeira à temperatura de
. Considerando que em Ouro Branco a temperatura esteja a
, calcule:
a) Qual a temperatura no centro das laranjas após 3600 segundos no freezer?
Considere as laranjas como esferas de 10 cm de diâmetro.
Dado:
c=
a) Qual a temperatura no centro das laranjas após 3600 segundos no freezer?
Considere as laranjas como esferas de 10 cm de diâmetro.
Dado:
c=
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício sobre como o suco de laranja esfria no freezer. Basicamente, você coloca laranjas, que são esferas de 10 cm de diâmetro, no freezer que está a
. A temperatura ambiente é
. A pergunta é: qual vai ser a temperatura no centro das laranjas depois de 3600 segundos (ou seja, 1 hora) no freezer? Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente como o calor se dissipa dentro de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender se podemos simplificar o problema usando o modelo de capacidade térmica concentrada (modelo lumped). Para isso, calculamos o número de Biot, que nos ajuda a decidir se a temperatura dentro da esfera é praticamente uniforme ou se varia significativamente do centro para a superfície.
O número de Biot (
) é dado por:
onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor (6 W/m²·K), -
é o comprimento característico. Para uma esfera, usamos o raio, que é metade do diâmetro: m, -
é a condutividade térmica (0,603 J/m·s·K).
Vamos calcular:
Como o
é menor que 0,1, geralmente indica que a temperatura é uniforme, mas aqui está próximo de 0,5. Isso sugere que há variação de temperatura dentro da laranja, então precisamos usar a equação de difusão de calor para uma esfera.
Passo 3
Vamos usar a solução para o resfriamento de uma esfera com condições iniciais e de contorno definidas. A temperatura no centro da esfera (
) pode ser encontrada usando a seguinte série de Fourier:
onde:
-
é a temperatura inicial da laranja ( ), -
é a temperatura do freezer ( ), -
é a difusividade térmica, calculada por , -
é o raio da esfera (0,05 m), -
é o tempo (3600 s).
Vamos calcular a difusividade térmica primeiro.
Passo 4
Calculando a difusividade térmica (
):
Agora, vamos simplificar a série de Fourier para a primeira aproximação, considerando apenas o primeiro termo da série, já que os termos seguintes tendem a se tornar menores.
Então, a equação simplifica para:
Passo 5
Substituindo os valores na equação simplificada:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos na expressão:
Portanto:
Resposta
A temperatura no centro das laranjas após 3600 segundos no freezer é aproximadamente
.