Para o café da manhã, você costuma tomar suco de laranja bem gelado. Para isso costuma colocar as laranjas no freezer da geladeira à temperatura de 5^circ C. Considerando que em Ouro Branco a temperatura esteja a 30^circ C, calcule:
a) Qual a temperatura no centro das laranjas após 3600 segundos no freezer?
Considere as laranjas como esferas de 10 cm de diâmetro.
Dado:
h=6 W / m^2 K
k=0,603 J / m s K
rho=997,6 kg / m^3
c= 4180 J / kg K

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício sobre como o suco de laranja esfria no freezer. Basicamente, você coloca laranjas, que são esferas de 10 cm de diâmetro, no freezer que está a 5^circ C. A temperatura ambiente é 30^circ C. A pergunta é: qual vai ser a temperatura no centro das laranjas depois de 3600 segundos (ou seja, 1 hora) no freezer? Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente como o calor se dissipa dentro de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender se podemos simplificar o problema usando o modelo de capacidade térmica concentrada (modelo lumped). Para isso, calculamos o número de Biot, que nos ajuda a decidir se a temperatura dentro da esfera é praticamente uniforme ou se varia significativamente do centro para a superfície.
O número de Biot ( Bi) é dado por:
Bi = h cdot Lck
onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor (6 W/m²·K),
  • Lc é o comprimento característico. Para uma esfera, usamos o raio, que é metade do diâmetro: Lc = 0,05 m,
  • k é a condutividade térmica (0,603 J/m·s·K).
Vamos calcular:
Bi = 6 cdot 0,050,603 approx 0,497
Como o Bi é menor que 0,1, geralmente indica que a temperatura é uniforme, mas aqui está próximo de 0,5. Isso sugere que há variação de temperatura dentro da laranja, então precisamos usar a equação de difusão de calor para uma esfera.

Passo 3

Vamos usar a solução para o resfriamento de uma esfera com condições iniciais e de contorno definidas. A temperatura no centro da esfera ( Tc) pode ser encontrada usando a seguinte série de Fourier:
Tc - TinftyTi - Tinfty = 1 - 6pi^2 sumn=1^infty 1n^2 cdot 11 + alpha tr^2 n^2
onde:
  • Ti é a temperatura inicial da laranja ( 30^circ C),
  • Tinfty é a temperatura do freezer ( 5^circ C),
  • alpha é a difusividade térmica, calculada por alpha = krho c,
  • r é o raio da esfera (0,05 m),
  • t é o tempo (3600 s).
Vamos calcular a difusividade térmica primeiro.

Passo 4

Calculando a difusividade térmica ( alpha):
alpha = krho c = 0,603997,6 times 4180 approx 1,45 times 10^-7 , m^2/s
Agora, vamos simplificar a série de Fourier para a primeira aproximação, considerando apenas o primeiro termo da série, já que os termos seguintes tendem a se tornar menores.
Então, a equação simplifica para:
Tc - 530 - 5 approx 1 - 6pi^2 cdot 11 + alpha tr^2

Passo 5

Substituindo os valores na equação simplificada:
Primeiro, calculamos alpha tr^2:
alpha tr^2 = 1,45 times 10^-7 times 3600(0,05)^2 = 5,22 times 10^-40,0025 = 0,2088
Agora, substituímos na expressão:
Tc - 525 approx 1 - 6pi^2 cdot 11 + 0,2088 = 1 - 6pi^2 cdot 11,2088 approx 1 - 6pi^2 times 0,827 = 1 - 6 times 0,0833 approx 1 - 0,5 = 0,5
Portanto:
Tc - 525 approx 0,5 implies Tc - 5 approx 12,5 implies Tc approx 17,5^circ C

Resposta

A temperatura no centro das laranjas após 3600 segundos no freezer é aproximadamente 17,5^circ C.

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