Considere um bloco de aço extremamente grande, mantido a uma temperatura inicial de 35^circ C. A superfície deste bloco está exposta a um fluxo de calor.
Qual será a temperatura, a uma profundidade de 2,5 cm, após o tempo de 0,5 minuto para as seguintes situações:
b) Quando a superfície está submetida a um fluxo de calor superficial constante de 3,2,10^5 W / m^2;
Dados:
k=45 W / m ^circ C
alpha=1,4 cdot 10^-5 m^2 / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um bloco de aço muito grande que começa com uma temperatura de 35^circ C. A superfície desse bloco está recebendo um fluxo de calor constante de 3,2 times 10^5 W/m^2. Queremos descobrir qual será a temperatura a uma profundidade de 2,5 cm depois de meio minuto ( 0,5 minuto). Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor, especificamente a equação de difusão de calor para fluxo constante. Precisaremos das propriedades térmicas do aço: a condutividade térmica k = 45 W/(m cdot °C) e a difusividade térmica alpha = 1,4 times 10^-5 m^2/s.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando aplicamos um fluxo de calor constante na superfície de um material, o calor começa a se propagar para dentro do material. A profundidade que o calor alcança depende do tempo e das propriedades do material. Aqui, queremos saber a temperatura em 2,5 cm após 30 s.

Passo 3

Para resolver isso, usamos a solução da equação de condução de calor para um meio semi-infinito com fluxo de calor constante na superfície. A fórmula que relaciona a temperatura T(x,t) em uma profundidade x e tempo t é:
T(x,t) = T0 + q''k raizalpha tpi exp(-x^24alpha t) - q'' xk erfc(x2raizalpha t)
Onde:
  • T0 é a temperatura inicial ( 35^circ C),
  • q'' é o fluxo de calor superficial ( 3,2 times 10^5 W/m^2),
  • k é a condutividade térmica,
  • alpha é a difusividade térmica,
  • x é a profundidade,
  • t é o tempo,
  • erfc é a função erro complementar.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
T(x,t) = 35 + 3,2 times 10^545 raiz1,4 times 10^-5 times 30pi exp(-(0,025)^24 times 1,4 times 10^-5 times 30) - 3,2 times 10^5 times 0,02545 erfc(0,0252raiz1,4 times 10^-5 times 30)

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, calculemos:
raiz1,4 times 10^-5 times 30pi = raiz4,2 times 10^-43,1416 approx raiz1,338 times 10^-4 approx 0,01158 m
Agora, o expoente:
-(0,025)^24 times 1,4 times 10^-5 times 30 = -0,0006250,00168 approx -0,371
E o argumento da função erro complementar:
0,0252raiz1,4 times 10^-5 times 30 = 0,0252 times 0,02049 approx 0,0250,04098 approx 0,61

Passo 6

Agora, substituímos de volta:
T(x,t) = 35 + 3,2 times 10^545 times 0,01158 times e^-0,371 - 3,2 times 10^5 times 0,02545 times erfc(0,61)
Calculando os coeficientes:
3,2 times 10^545 approx 7111,11 W/(m^2 cdot °C)
Então:
35 + 7111,11 times 0,01158 times 0,691 - 7111,11 times 0,025 times erfc(0,61)
Calculando cada termo:
7111,11 times 0,01158 times 0,691 approx 7111,11 times 0,008 approx 56,89
E:
7111,11 times 0,025 times erfc(0,61) approx 7111,11 times 0,025 times 0,270 approx 7111,11 times 0,00675 approx 47,93

Passo 7

Agora, somando tudo:
T(x,t) = 35 + 56,89 - 47,93 approx 35 + 8,96 approx 43,0^circ C

Resposta

Após 0,5 minuto, a temperatura a uma profundidade de 2,5 cm no bloco de aço será aproximadamente 43,0^circ C.

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